Бесконечно делимое распределение

Случайная величина ${\displaystyle Y}$ называется бесконечно делимой, если для любого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ она может быть представлена в виде

${\displaystyle Y=\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}^{(n)}}$,

где ${\displaystyle \left\{X_{i}^{(n)}\right\}_{i=1}^{n}}$ — независимые, одинаково распределённые случайные величины.

• Характеристическая функция ${\displaystyle \phi _{Y}(t)}$ бесконечно делимой случайной величины ${\displaystyle Y}$ имеет вид:

${\displaystyle \phi _{Y}(t)=\phi _{X^{(n)}}^{n}(t)}$.

• Характеристическая функция бесконечно делимого распределения не обращается в нуль.
• Функция распределения суммы независимых случайных величин, имеющих бесконечно делимые функции распределения, также бесконечно делима.
• Функция распределения, предельная для последовательности бесконечно делимых функций распределения, является бесконечно делимой.

Для того, чтобы функция распределения ${\displaystyle \Phi (x)}$ c конечной дисперсией была бесконечно делимой, необходимо и достаточно, чтобы логарифм её характеристической функции ${\displaystyle \phi (t)}$ имел вид:

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\gamma t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}-1-itx}{x^{2}}}dG(x)}$,

где ${\displaystyle \gamma }$ — вещественная постоянная, а ${\displaystyle G(x)}$ — неубывающая функция ограниченной вариации, интеграл понимается в смысле Лебега — Стилтьеса.

Пусть ${\displaystyle \phi (t)}$ — характеристическая функция бесконечно делимого распределения на ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Тогда существует неубывающая функция ограниченной вариации ${\displaystyle G:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$, такая что

${\displaystyle \ln \phi (t)=i\delta t+\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left(e^{itu}-1-{\frac {itu}{1+u^{2}}}\right)\left({\frac {1+u^{2}}{u^{2}}}\right)dG(u)}$

• Следующие распределения бесконечно делимы: распределение Коши, распределение Пуассона, нормальное распределение, гамма-распределение.

• Пусть задано вероятностное пространство ${\displaystyle (\mathbb {N} ,2^{\mathbb {N} },m)}$, где

${\displaystyle m(n)={\frac {\lambda ^{n}}{n!}}e^{-\lambda }}$

для некоторого ${\displaystyle \lambda >0}$. Тогда случайная величина ${\displaystyle X:\mathbb {N} \to \mathbb {R} }$, имеющая вид

${\displaystyle X(n)=n,\quad n\in \mathbb {N} }$

не является бесконечно делимой.

Распределение ${\displaystyle \mu }$ на локально компактной абелевой группе ${\displaystyle X}$ называется бесконечно делимым, если для каждого натурального ${\displaystyle n}$ существует элемент ${\displaystyle x_{n}\in X}$ и распределение ${\displaystyle \mu _{n}}$ на ${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle \mu =\mu _{n}^{*n}*E_{x_{n}}}$, где ${\displaystyle E_{x_{n}}}$ - вырожденное распределение, сосредоточенное в ${\displaystyle x_{n}}$ (см. ^[1], ^[2]).

Примерами бесконечно делимых распределений на локально компактных абелевых группах являются вырожденные распределения, сдвиги распределений Хаара компактных подгрупп, обобщенные распределения Пуассона.