Арксинус, арккосинус, арктангенс числового аргумента

• Арксинус (${\displaystyle \arcsin x}$) — функция, обратная синусу. Определяет угол ${\displaystyle y}$, для которого справедливо равенство ${\displaystyle \sin y=x}$.

  Область определения: ${\displaystyle x\in [-1;1]}$.
  Область значений: ${\displaystyle y\in \left[-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right]}$.
  Свойства:
    Нечётная функция: ${\displaystyle \arcsin(-x)=-\arcsin x}$.

• Арккосинус (${\displaystyle \arccos x}$) — функция, обратная косинусу. Определяет угол ${\displaystyle y}$, для которого ${\displaystyle \cos y=x}$.

  Область определения: ${\displaystyle x\in [-1;1]}$.
  Область значений: ${\displaystyle y\in [0;\pi ]}$.
  Свойства:
    ${\displaystyle \arccos(-x)=\pi -\arccos x}$.

• Арктангенс (${\displaystyle \operatorname {arctg} x}$) — функция, обратная тангенсу. Определяет угол ${\displaystyle y}$, для которого ${\displaystyle \operatorname {tg} y=x}$.

  Область определения: ${\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )}$.
  Область значений: ${\displaystyle y\in \left(-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right)}$.
  Свойства:
    Нечётная функция: ${\displaystyle \operatorname {arctg} (-x)=-\operatorname {arctg} x}$.

• Уравнение ${\displaystyle \sin x=a}$:

  Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$, общее решение:
    ${\displaystyle x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.

• Уравнение ${\displaystyle \cos x=a}$:

  Если ${\displaystyle |a|\leqslant 1}$, общее решение:
    ${\displaystyle x=\pm \arccos a+2\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.

• Уравнение ${\displaystyle \operatorname {tg} x=a}$:

  Общее решение:
    ${\displaystyle x=\operatorname {arctg} a+\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.

1. Решить уравнение ${\displaystyle \sin x={\dfrac {\sqrt {3}}{2}}}$.

   ${\displaystyle \arcsin {\dfrac {\sqrt {3}}{2}}={\dfrac {\pi }{3}}}$.
   Общее решение: ${\displaystyle x={\dfrac {\pi }{3}}+2\pi n}$ или ${\displaystyle x={\dfrac {2\pi }{3}}+2\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.

2. Решить уравнение ${\displaystyle \cos x=-{\dfrac {1}{2}}}$.

   ${\displaystyle \arccos \left(-{\dfrac {1}{2}}\right)={\dfrac {2\pi }{3}}}$.
   Общее решение: ${\displaystyle x={\dfrac {2\pi }{3}}+2\pi n}$ и ${\displaystyle x={\dfrac {4\pi }{3}}+2\pi n,\quad n\in \mathbb {Z} }$.

• Соотношения:

  ${\displaystyle \arcsin x+\arccos x={\dfrac {\pi }{2}}}$.
  ${\displaystyle \operatorname {arctg} x+\operatorname {arcctg} x={\dfrac {\pi }{2}}}$.

• Выражение арксинуса через арктангенс:

  ${\displaystyle \arcsin x=\operatorname {arctg} {\dfrac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, при ${\displaystyle |x|<1}$.

• ${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\arcsin x={\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, при ${\displaystyle |x|<1}$.
• ${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\arccos x=-{\dfrac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}$, при ${\displaystyle |x|<1}$.
• ${\displaystyle {\dfrac {d}{dx}}\operatorname {arctg} x={\dfrac {1}{1+x^{2}}}}$.

• Арксинус: возрастающая функция на интервале ${\displaystyle [-1;1]}$ с областью значений ${\displaystyle \left[-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right]}$.
• Арккосинус: убывающая функция на интервале ${\displaystyle [-1;1]}$ с областью значений ${\displaystyle [0;\pi ]}$.
• Арктангенс: возрастающая функция на всей числовой прямой с областью значений ${\displaystyle \left(-{\dfrac {\pi }{2}};{\dfrac {\pi }{2}}\right)}$.

Обратные тригонометрические функции — арксинус, арккосинус и арктангенс — являются фундаментальными инструментами в математике для решения уравнений и вычисления углов по известным значениям тригонометрических функций. Понимание их свойств и умений использовать их в задачах является важной частью подготовки к экзаменам и дальнейшего изучения математики.