Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая и геометрическая прогрессии — фундаментальные виды числовых последовательностей, в которых каждый последующий член получается из предыдущего путём прибавления постоянного числа (разности) или умножения на постоянное число (знаменатель) соответственно.

n-й член арифметической прогрессии вычисляется по формуле a_n = a_1 + (n-1)d, где d — разность. Сумма первых n членов равна S_n = n/2 * (2a_1 + (n-1)d) или S_n = n/2 * (a_1 + a_n). Последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый её член, начиная со второго, равен полусумме соседних.

Арифметическая прогрессия является возрастающей при d > 0, убывающей при d < 0 и постоянной при d = 0.

n-й член вычисляется по формуле b_n = b_1 q^(n-1), а сумма первых n членов (при q≠1) равна S_n = b_1(1-q^n)/(1-q). Характеристическое свойство: каждый член, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних, то есть b_k^2 = b_{k-1} b_{k+1}. Монотонность: при q>0 прогрессия монотонна, при q<0 – знакопеременная, при q=1 – постоянная.

Арифметическая прогрессия растёт линейно (с постоянной разностью), тогда как геометрическая прогрессия растёт экспоненциально (с постоянным знаменателем). Характеристическое свойство арифметической прогрессии — среднее арифметическое соседних членов, а геометрической — среднее геометрическое.

Арифмети́ческая и геометри́ческая прогре́ссии — это два фундаментальных вида числовых последовательностей, изучаемых в математике и широко применяемых в различных областях науки и техники.

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел $(a_{n})$ , в которой каждый следующий член получается из предыдущего добавлением постоянного числа $d$ , называемого разностью прогрессии.

Определение

Арифметическая прогрессия имеет вид: $a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots$

Где:

$a_{1}$ — первый член прогрессии;
$d$ — разность прогрессии.

Свойства арифметической прогрессии

Формула $n$ -го члена:

  $a_{n}=a_{1}+(n-1)d=a_{k}+(n-k)d$

Разность прогрессии:

  $d=a_{n}-a_{n-1}$

Сумма первых n членов:

  $S_{n}={\dfrac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n={\dfrac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\cdot n$

Характеристическое свойство:

Последовательность  $(a_{n})$  — арифметическая прогрессия тогда и только тогда, когда для любого  $a_{n}$ ,  $n\geqslant 2$ :  $a_{n}={\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}$ ,  $n\in N$ .

Монотонность:

 если  $d>0$  — прогрессия возрастающая;
 если  $d<0$  — прогрессия убывающая;
 если  $d=0$  — прогрессия постоянная.

Примеры

Натуральные числа: $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots$ с $a_{1}=1$ , $d=1$ .
Чётные числа: $2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots$ с $a_{1}=2$ , $d=2$ .

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел $(b_{n})$ , в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число $q$ , называемое знаменателем прогрессии.

Определение

Геометрическая прогрессия имеет вид: $b_{1},\ b_{1}q,\ b_{1}q^{2},\ \ldots ,\ b_{1}q^{n-1},\ \ldots$

Где:

$b_{1}$ — первый член прогрессии;
$q$ — знаменатель прогрессии ( $q\neq 0$ ).

Свойства геометрической прогрессии

Формула $n$ -го члена:

 $b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}=b_{k}\cdot q^{n-k}$

Знаменатель прогрессии:

  $q={\dfrac {b_{n}}{b_{n-1}}}$

Сумма первых n членов (при $q\neq 1$ ):

  $S_{n}={\dfrac {b_{n}q-b_{1}}{q-1}}={\dfrac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$

Характеристическое свойство:

Последовательность  $(b_{n})$  — геометрическая прогрессия тогда и только тогда, когда для любого  $b_{n}$ :  $b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1}$ ,  $n\in N$ .

Монотонность:

 если  $q>0,q\neq 1$  — прогрессия монотонная;
 если  $q<0$  — прогрессия знакопеременная;
 если  $q=1$  — прогрессия постоянная;
 если  $|q|<1$ , прогрессия бесконечная.

Примеры

Степени двойки: $1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots$ $b_{1}=1$ , $q=2$ .
Убывающая прогрессия: $81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ {\dfrac {1}{3}},\ \ldots$ $b_{1}=81$ , $q={\dfrac {1}{3}}$ .

Общий член:

 Арифметическая:  $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ 
 Геометрическая:  $b_{n}=b_{1}q^{n-1}$

Сумма первых n членов:

 Арифметическая:  $S_{n}={\dfrac {(a_{1}+a_{n})n}{2}}$ 
 Геометрическая:  $S_{n}={\dfrac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}$  при  $q\neq 1$

Характеристическое свойство:

 Арифметическая: любой член равен среднему арифметическому соседних членов.
 Геометрическая: квадрат любого члена равен произведению соседних членов.

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются основными видами последовательностей в математике. Они широко применяются в различных задачах, включая расчёты процентов, анализ последовательностей и моделирование процессов роста или убывания. Знание их свойств и умений работать с ними важно для успешной подготовки к экзаменам по математике.

Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия

Определение

Свойства арифметической прогрессии

Примеры

Геометрическая прогрессия

Определение

Свойства геометрической прогрессии

Примеры

Сравнение арифметической и геометрической прогрессий

Заключение

Литература

Категории