Арифметическая и геометрическая прогрессии

Арифметическая прогрессия — последовательность чисел ${\displaystyle (a_{n})}$, в которой каждый следующий член получается из предыдущего добавлением постоянного числа ${\displaystyle d}$, называемого разностью прогрессии.

Арифметическая прогрессия имеет вид: ${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }$

Где:

• ${\displaystyle a_{1}}$ — первый член прогрессии;
• ${\displaystyle d}$ — разность прогрессии.

• Формула ${\displaystyle n}$-го члена:

 ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d=a_{k}+(n-k)d}$

• Разность прогрессии:

 ${\displaystyle d=a_{n}-a_{n-1}}$

• Сумма первых n членов:

 ${\displaystyle S_{n}={\dfrac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n={\dfrac {(a_{1}+a_{n})}{2}}\cdot n}$

• Характеристическое свойство:

Последовательность ${\displaystyle (a_{n})}$ — арифметическая прогрессия тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle a_{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$: ${\displaystyle a_{n}={\dfrac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$, ${\displaystyle n\in N}$.

• Монотонность:

 если ${\displaystyle d>0}$ — прогрессия возрастающая;
 если ${\displaystyle d<0}$ — прогрессия убывающая;
 если ${\displaystyle d=0}$ — прогрессия постоянная.

• Натуральные числа: ${\displaystyle 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ \ldots }$ с ${\displaystyle a_{1}=1}$, ${\displaystyle d=1}$.
• Чётные числа: ${\displaystyle 2,\ 4,\ 6,\ 8,\ \ldots }$ с ${\displaystyle a_{1}=2}$, ${\displaystyle d=2}$.

Геометрическая прогрессия — последовательность чисел ${\displaystyle (b_{n})}$, в которой каждый следующий член получается умножением предыдущего на постоянное число ${\displaystyle q}$, называемое знаменателем прогрессии.

Геометрическая прогрессия имеет вид: ${\displaystyle b_{1},\ b_{1}q,\ b_{1}q^{2},\ \ldots ,\ b_{1}q^{n-1},\ \ldots }$

Где:

• ${\displaystyle b_{1}}$ — первый член прогрессии;
• ${\displaystyle q}$ — знаменатель прогрессии (${\displaystyle q\neq 0}$).

• Формула ${\displaystyle n}$-го члена:

${\displaystyle b_{n}=b_{1}\cdot q^{n-1}=b_{k}\cdot q^{n-k}}$

• Знаменатель прогрессии:

 ${\displaystyle q={\dfrac {b_{n}}{b_{n-1}}}}$

• Сумма первых n членов (при ${\displaystyle q\neq 1}$):

 ${\displaystyle S_{n}={\dfrac {b_{n}q-b_{1}}{q-1}}={\dfrac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}$

• Характеристическое свойство:

Последовательность ${\displaystyle (b_{n})}$ — геометрическая прогрессия тогда и только тогда, когда для любого ${\displaystyle b_{n}}$: ${\displaystyle b_{n}^{2}=b_{n-1}\cdot b_{n+1}}$, ${\displaystyle n\in N}$.

• Монотонность:

 если ${\displaystyle q>0,q\neq 1}$ — прогрессия монотонная;
 если ${\displaystyle q<0}$ — прогрессия знакопеременная;
 если ${\displaystyle q=1}$ — прогрессия постоянная;
 если ${\displaystyle |q|<1}$, прогрессия бесконечная.

• Степени двойки: ${\displaystyle 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16,\ \ldots }$ ${\displaystyle b_{1}=1}$, ${\displaystyle q=2}$.
• Убывающая прогрессия: ${\displaystyle 81,\ 27,\ 9,\ 3,\ 1,\ {\dfrac {1}{3}},\ \ldots }$ ${\displaystyle b_{1}=81}$, ${\displaystyle q={\dfrac {1}{3}}}$.

• Общий член:

 Арифметическая: ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$
 Геометрическая: ${\displaystyle b_{n}=b_{1}q^{n-1}}$

• Сумма первых n членов:

 Арифметическая: ${\displaystyle S_{n}={\dfrac {(a_{1}+a_{n})n}{2}}}$
 Геометрическая: ${\displaystyle S_{n}={\dfrac {b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}$ при ${\displaystyle q\neq 1}$

• Характеристическое свойство:

 Арифметическая: любой член равен среднему арифметическому соседних членов.
 Геометрическая: квадрат любого члена равен произведению соседних членов.

Арифметическая и геометрическая прогрессии являются основными видами последовательностей в математике. Они широко применяются в различных задачах, включая расчёты процентов, анализ последовательностей и моделирование процессов роста или убывания. Знание их свойств и умений работать с ними важно для успешной подготовки к экзаменам по математике.