Аргумент Экманна — Хилтона

Аргумент Экманна — Хилтона — теорема о паре унитальных магм, одна из которых является гомоморфизмом для другой. В таком случае простое рассуждение показывает, что структуры магм совпадают и, более того, они является коммутативным моноидом. Назван в честь Экманна и Хилтона, использовавших его в своей статье 1962 года.

Наиболее известное приложение этой теоремы — доказательство того факта, что гомотопические группы любой топологической группы $G$ абелевы. Например, для доказательства коммутативности $\pi _{1}(G,e)$ достаточно рассмотреть произведение петель, индуцированное групповым умножением в $G$ и воспользоваться аргументом Экманна — Хилтона.

Пусть $(X,\circ )$ и $(X,\otimes )$ — две магмы с единицами $1_{\circ }$ и $1_{\otimes }$ , причём

$(a\otimes b)\circ (c\otimes d)=(a\circ c)\otimes (b\circ d)$ для всех $a,b,c,d\in X$ .

Тогда бинарные операции $\circ$ и $\otimes$ совпадают и, более того, являются коммутативными и ассоциативными.

Заметим, что единицы рассматриваемых магм совпадают: $1_{\circ }=1_{\circ }\circ 1_{\circ }=(1_{\otimes }\otimes 1_{\circ })\circ (1_{\circ }\otimes 1_{\otimes })=(1_{\otimes }\circ 1_{\circ })\otimes (1_{\circ }\circ 1_{\otimes })=1_{\otimes }\otimes 1_{\otimes }=1_{\otimes }$ .

Далее, пусть $a,b\in X$ . Тогда $a\circ b=(1\otimes a)\circ (b\otimes 1)=(1\circ b)\otimes (a\circ 1)=b\otimes a=(b\circ 1)\otimes (1\circ a)=(b\otimes 1)\circ (1\otimes a)=b\circ a$ . Таким образом, $\circ$ и $\otimes$ совпадают и являются коммутативными.

Наконец, проверим ассоциативность: $(a\otimes b)\otimes c=(a\otimes b)\otimes (1\otimes c)=(a\otimes 1)\otimes (b\otimes c)=a\otimes (b\otimes c)$ .

John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 89)
John Baez: Eckmann-Hilton principle (week 100)
Eckmann, B. & Hilton, P. J. (1962), Group-like structures in general categories. I. Multiplications and comultiplications, Mathematische Annalen Т. 145 (3): 227–255, DOI 10.1007/bf01451367 .
Hurewicz, W. (1935), Beitrage zur Topologie der Deformationen, vol. 38, Nederl. Akad. Wetensch. Proc. Ser. A, с. 112—119, 521-528 .
Brown, R.; Higgins, P. J. & Sivera, R. (2011), Nonabelian algebraic topology: filtered spaces, crossed complexes, cubical homotopy groupoids, vol. 15, European Mathematical Society Tracts in Mathematics, с. 703 .
Higgins, P. J. (2005), Thin elements and commutative shells in cubical $\omega$ -categories, Theory and Application of Categories Т. 14: 60–74, <http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/14/4/14-04abs.html> .
James, I.M. (1999), History of Topology, North Holland
Murray Bremner and Sara Madariaga. (2014) Permutation of elements in double semigroups

Аргумент Экманна — Хилтона

Формулировка и доказательство теоремы

Литература

Категории