Алгоритм Робинсона — Шенстеда

Алгоритм Робинсона — Шенстеда начинает работу с перестановки ${\displaystyle \sigma }$, записанной в лексикографическом порядке:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&3&\cdots &n\\\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\cdots &\sigma _{n}\end{pmatrix}}}$

где ${\displaystyle \sigma (i)=\sigma _{i}}$, и продолжает, создавая последовательность упорядоченных пар таблиц Юнга той же формы:

${\displaystyle (P_{0},Q_{0}),(P_{1},Q_{1}),(P_{2},Q_{2}),\ldots ,(P_{n},Q_{n}),}$

где ${\displaystyle P_{0}=Q_{0}=\varnothing }$ — пустые таблицы. На выходе получаются таблицы ${\displaystyle P=P_{n}}$ и ${\displaystyle Q=Q_{n}}$.

На основе построенной ${\displaystyle P_{i-1}}$ формируется ${\displaystyle P_{i}}$ путём вставки Шенстеда (см. ниже) ${\displaystyle \sigma (i)}$ в ${\displaystyle P_{i-1}}$. К ${\displaystyle Q_{i}}$ добавляется ${\displaystyle i}$ в квадрат, добавленный к форме при вставке, чтобы формы для ${\displaystyle P_{i}}$ и ${\displaystyle Q_{i}}$ были одинаковы для каждого ${\displaystyle i}$. Таким образом, стандартная таблица ${\displaystyle P}$ записывает перестановку, а ${\displaystyle Q}$ — регистрирует «рост» диаграммы Юнга^[1].

Для вставки строки ${\displaystyle x}$ в таблицу ${\displaystyle T}$:

   1. сделать первую строку T текущей
   2. в текущей строке найти первый элемент, который больше x
   3. если такой элемент найден
        обменять значения x и найденной ячейки
        сделать следующую строку текущей
        перейти на шаг 2.
      иначе:
        добавить x к концу текущей строки
        закончить

• Шенстед независимо обнаружил алгоритм и обобщил его для случая ${\displaystyle \sigma }$ — любая последовательность из ${\displaystyle n}$ чисел (то есть, возможно, с повторениями). В этом случае ${\displaystyle P}$ является полустандартной.
• Алгоритм Робинсона — Шенстеда — Кнута был разработан Кнутом и устанавливает биективное соответствие между обобщенными перестановками (двустрочные массивы лексикографически упорядоченных положительных целых чисел) и парами полустандартных таблиц Юнга.