Алгебраическая связность

Алгебраическая связность графа G больше 0 в том и только в том случае, если G является связным. Более того, значение алгебраической связности ограничено сверху обычной (вершинной) связностью графа^[2]. Если число вершин связного графа равно n, а диаметр равен D, алгебраическая связность, как известно, ограничена снизу числом ${\displaystyle {\frac {1}{nD}}}$^[3], и фактически, как показал Брендан МакКей, значением ${\displaystyle {\frac {4}{nD}}}$^[4]. Для примера, приведённого выше, 4/18 = 0,222 ≤ 0,722 ≤ 1, но для многих больших графов алгебраическая связность много ближе к нижней границе, чем к верхней.

В отличие от обычной связности алгебраическая связность зависит как от числа вершин, так и от способа их соединения. В случайных графах алгебраическая связность уменьшается с ростом числа вершин и растёт с увеличением средней степени^[5].

Точное определение алгебраической связности зависит от типа используемой матрицы Кирхгофа. Фэн Чанг разработала обширную теорию, в которой используется нормированные матрицы Кирхгофа, что избавляет значения от числа вершин, так что границы становятся несколько другими^[6].

В моделях синхронизации в сетях, таких как Модель Курамото, матрица Кирхгофа возникает естественным образом, так что алгебраическая связность показывает насколько просто сеть будет синхронизироваться^[7]. Однако могут быть использованы и другие показатели, такие как среднее расстояние (характеристика длины пути)^[8], и фактически алгебраическое расстояние тесно связано со средней дистанцией (точнее обратной ей величиной)^[4].

Алгебраическая связность также связана с другими характеристиками связности, такими как изопериметрическое число, которое ограничено снизу половиной значения алгебраической связности^[9].

Первоначально теория, связанная с алгебраической связностью, разработана чешским математиком Мирославом Фидлером^[10][11]. В его честь собственный вектор, соответствующий алгебраической связности, носит имя вектор Фидлера. Вектор Фидлера можно использовать для разбиения графа.

Для графа из вводного раздела вектором Фидлера будет <0,415; 0,309; 0,069; −0,221; 0,221; −0,794>. Отрицательные значения соответствуют плохо связанной вершине 6 и соседней точке сочленения, вершине 4, а положительные значения соответствуют остальным вершинам. Знак элементов вектора Фидлера таким образом можно использовать для разбиения графа на две компоненты — {1, 2, 3, 5} и {4, 6}. Или можно значение 0,069 (находящееся ближе всего к нулю) поместить в свой собственный класс, разбив граф на три компоненты — {1, 2, 5}, {3} и {4, 6}.