Просмотр кода страницы Электростатический потенциал

{{К_материалам_ОГЭ/ЕГЭ}}
{{Значения|Потенциал}}
{{Электродинамика}}
{{нет ссылок|дата=7 ноября 2019}}
'''Электростатический потенциа́л''' — [[скаляр]]ная [[Энергия|энергетическая]] характеристика [[электростатическое поле|электростатического поля]], характеризующая [[Потенциальная энергия|потенциальную энергию]], которой обладает единичный положительный пробный [[Электрический заряд|заряд]], помещённый в данную точку поля. [[Единицы измерения|Единицей измерения]] потенциала в [[СИ|Международной системе единиц (СИ)]] является [[вольт]] (русское обозначение: В; международное: V), 1 В = 1 [[Джоуль|Дж]]/[[Кулон|Кл]] (подробнее о единицах измерения — [[#Единицы измерения|см. ниже]]).

''Электростатический потенциал'' — специальный термин для возможной замены общего термина электродинамики ''[[Потенциалы электромагнитного поля|скалярный потенциал]]'' в частном случае [[Электростатика|электростатики]] (исторически электростатический потенциал появился первым, а скалярный потенциал электродинамики — его обобщение). Употребление термина ''электростатический потенциал'' определяет собой наличие именно электростатического контекста. Если такой контекст уже очевиден, часто говорят просто о ''потенциале'' без уточняющих прилагательных.

Электростатический потенциал равен отношению [[потенциальная энергия|потенциальной энергии]] взаимодействия [[Электрический заряд|заряда]] с полем к величине этого заряда:

: <math>\varphi = \frac{W_p}{q_p}.</math>

[[Напряжённость электрического поля|Напряжённость электростатического поля]] <math>\mathbf E</math> и потенциал <math>\varphi</math> связаны соотношением<ref>Это соотношение очевидным образом получается из выражения для [[Механическая работа|работы]] <math>\int \mathbf F\cdot\mathbf{dl}</math>, где <math>\mathbf F = q \mathbf E</math> — сила, действующая на заряд <math>q</math> со стороны электрического поля напряжённостью <math>E</math>. Это выражение для работы, в сущности, и есть физический смысл формулы в основном тексте.</ref>
: <math>\int\limits_A^B  \mathbf E\cdot\mathbf{dl} = \varphi(A) - \varphi(B),</math>
или обратно<ref>
В компонентах (в прямоугольных декартовых координатах) это равенство расписывается как
: <math>E_x = - \frac{\partial\varphi}{\partial x},</math>
: <math>E_y = - \frac{\partial\varphi}{\partial y},</math>
: <math>E_z = - \frac{\partial\varphi}{\partial z}.</math></ref>:
: <math>\mathbf E = - \nabla \varphi.</math>
Здесь <math>\nabla</math> — ''[[оператор набла]]'', то есть в правой части равенства стоит минус [[Градиент (математика)|градиент]] потенциала — вектор с компонентами, равными [[Частная производная|частным производным]] от потенциала по соответствующим (прямоугольным) декартовым координатам, взятый с противоположным знаком.

Воспользовавшись этим соотношением и [[Теорема Гаусса|теоремой Гаусса]] для напряжённости поля <math>\mathbf\nabla\cdot \mathbf E = {\rho \over \varepsilon_0}</math>, легко увидеть, что электростатический потенциал удовлетворяет [[уравнение Пуассона|уравнению Пуассона]] в вакууме. В единицах системы [[СИ]]:

: <math>{\nabla}^2 \varphi = - {\rho \over \varepsilon_0},</math>

где <math> \varphi</math> — электростатический потенциал (в [[вольт]]ах), <math> \rho</math> — объёмная [[плотность заряда]] (в [[кулон]]ах на кубический метр), а <math> \varepsilon_0</math> — [[электрическая постоянная]] (в [[фарад]]ах на метр).

== Неоднозначность определения потенциала ==
Поскольку потенциал (как и потенциальная энергия) может быть определён с точностью до произвольной постоянной (и все величины, которые можно измерить, а именно напряженности поля, силы, работы — не изменятся, если мы выберем эту постоянную так или по-другому), непосредственный физический смысл (по крайней мере, пока речь не идет о квантовых эффектах) имеет не сам потенциал, а разность потенциалов, которая определяется как:

: <math>\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{A_{f}^{q^{*}1 \to 2}}{q^{*}},</math>
где:
: <math>\varphi_1</math> — потенциал в точке 1,
: <math>\varphi_2</math> — потенциал в точке 2,
: <math>A_{f}^{q^{*} 1 \to 2}</math> — работа, совершаемая полем при переносе пробного заряда <math>q^{*}</math> из точки 1 в точку 2.

При этом считается, что все остальные заряды при такой операции «заморожены» — то есть неподвижны во время этого перемещения (имеется в виду вообще говоря скорее воображаемое, а не реальное перемещение, хотя в случае, если остальные заряды действительно закреплены — или пробный заряд исчезающе мал по величине — чтобы не вносить заметного возмущения в положения других — и переносится достаточно быстро, чтобы остальные заряды не успели заметно переместиться за это время, формула оказывается верной и для вполне реальной работы при реальном перемещении).

Впрочем, иногда для снятия неоднозначности используют какие-нибудь «естественные» условия. Например, часто потенциал определяют таким образом, чтобы он был равен нулю на бесконечности для любого точечного заряда — и тогда для любой конечной системы зарядов выполнится на бесконечности это же условие, а над произвольностью выбора константы можно не задумываться (конечно, можно было бы выбрать вместо нуля любое другое число, но ноль — «проще»).

== Единицы измерения ==
В [[СИ]] за единицу разности потенциалов принимают [[вольт]] (В).

Разность потенциалов между двумя точками поля равна одному [[вольт]]у, если для перемещения между ними [[Электрический заряд|заряда]] в один [[кулон]] нужно совершить работу в один [[джоуль]]: 1 В = 1 Дж/Кл ([[Длина|L]]²[[Килограмм|M]][[Секунда (единица измерения времени)|T]]<sup>−3</sup>[[Ампер (единица измерения)|I]]<sup>−1</sup>).

В [[СГС]] единица измерения потенциала не получила специального названия. Разность потенциалов между двумя точками равна одной единице потенциала СГСЭ, если для перемещения между ними заряда величиной одна [[Франклин (единица)|единица заряда СГСЭ]] нужно совершить работу в один [[эрг]].

Приближенное соответствие между величинами: 1 В = 1/300 ед. потенциала СГСЭ.

== Использование термина ==
Широко используемые термины [[напряжение (электрическое)|напряжение]] и [[электрический потенциал]] имеют несколько иной смысл, хотя нередко используются неточно как [[синоним]]ы электростатического потенциала. В отсутствие меняющихся магнитных полей напряжение равно ''разности'' потенциалов.

== Кулоновский потенциал ==
Иногда термин ''кулоновский потенциал'' используется просто для обозначения электростатического потенциала как полный синоним. Однако можно сказать, что в целом эти термины несколько различаются по оттенку и преимущественной области применения.

Также под кулоновским могут понимать потенциал любой природы (то есть не обязательно электрический), который при точечном или сферически симметричном источнике имеет зависимость от расстояния <math> \frac1r </math> (например, [[гравитационный потенциал]] в теории тяготения Ньютона, хотя последний чаще всё же называют ньютоновским, так как он был изучен в целом раньше), особенно если надо как-то обозначить весь этот класс потенциалов в отличие от потенциалов с другими зависимостями от расстояния.

Формула электростатического потенциала (кулоновского потенциала) точечного заряда в вакууме:
: <math>\varphi = k \frac{q}{r},</math>
где <math>k</math> обозначен коэффициент, зависящий от системы единиц измерения — например, в [[СИ]]:
: <math> k = \frac1{4\pi\varepsilon_0}</math> = 9·10<sup>9</sup> В·м/Кл,

<math> q</math> — величина заряда, <math> r</math> — расстояние от заряда-источника до точки, для которой рассчитывается потенциал.

* Можно показать, что эта формула верна не только для точечных зарядов, но и для любого сферически симметричного заряда конечного размера, например, равномерно заряженного шара, правда, только в свободном от заряда пространстве — то есть, например, над поверхностью шара, а не внутри его.
* Кулоновский потенциал в приведенном выше виде используется в формуле ''кулоновской потенциальной энергии'' (потенциальной энергии взаимодействия системы электростатически взаимодействующих зарядов):
*: <math> W = \sum_{i<j} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}} = \frac{1}{2}\sum_{i\neq j} k\frac{q_i q_j}{r_{ij}}.</math>

== В электродинамике ==
Когда присутствуют изменяющиеся во времени магнитные поля (что справедливо, при изменяющихся во времени электрических полей и наоборот), то невозможно описать электрическое поле в терминах '''[[Скалярный потенциал|скалярного потенциала]]''' ''V'', поскольку электрическое поле больше не является [[Консервативные силы|консервативным]]: циркуляция <math>\textstyle\int_C \mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell}</math> зависит от пути, потому что <math>\mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} \neq \mathbf{0} </math> (см. [[Закон электромагнитной индукции Фарадея|Закон индукции Фарадея]]).

Вместо этого всё ещё можно определить скалярный потенциал, дополнив его [[Векторный потенциал электромагнитного поля|магнитным векторным потенциалом]] '''A'''. В частности, '''А''' определен так чтобы

: <math>\mathbf{B} = \mathbf{\nabla} \times \mathbf{A}, \, </math>

где '''B''' — [[магнитное поле]]. Поскольку дивергенция магнитного поля всегда равно нулю из-за отсутствия [[Магнитный монополь|магнитных монополей]], то '''A''' всегда существует. Учитывая это, величина

: <math>\mathbf{F} = \mathbf{E} + \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}</math>

''является'' консервативным полем по [[Закон электромагнитной индукции Фарадея|закону Фарадея,]] и поэтому можно написать

: <math>\mathbf{E} = -\mathbf{\nabla}V - \frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}, \, </math>

где ''V'' — скалярный потенциал, определённый консервативным полем '''F'''.

Электростатический потенциал — это частный случай этого определения, где '''A''' не зависит от времени. С другой стороны, для изменяющихся во времени полей,

: <math>-\int_a^b \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\ell} \neq V_{(b)} - V_{(a)}, \, </math>

в отличие от электростатики.

== См. также ==
* [[Гальвани-потенциал]]
* [[Вольта-потенциал]]
* [[Векторный потенциал электромагнитного поля]]
* [[4-потенциал]]
* [[Стандартный электродный потенциал]]
* [[Степень окисления]]
* [[Гравитационный потенциал]]
* [[Ядерный потенциал]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор         = [[Алешкевич, Виктор Александрович|Алешкевич В. А.]]
 |заглавие      = Электромагнетизм
 |место         = М.
 |издательство  = Физматлит
 |год           = 2014
 |страниц       = 404
 |isbn          = 978-5-9221-1555-1
 |тираж         = 700
}}

[[Категория:Электричество]]
[[Категория:Электростатика]]
[[Категория:Потенциал]]