Просмотр кода страницы Углы Эйлера

== Формулы ==
Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию [[пассивный поворот|пассивных поворотов]] вокруг осей вращающейся системы координат. Матрицы этих поворотов имеют вид

<math>R_Z(\alpha) = \left(
\begin{array}{ccc}
 \cos (\alpha ) & -\sin (\alpha ) & 0 \\
 \sin (\alpha ) & \cos (\alpha ) & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right), \quad
R_X(\beta) = \left(
\begin{array}{ccc}
 1 & 0 & 0 \\
 0 & \cos (\beta ) & -\sin (\beta ) \\
 0 & \sin (\beta ) & \cos (\beta ) \\
\end{array}
\right), \quad
R_Z(\gamma) = \left(
\begin{array}{ccc}
 \cos (\gamma ) & -\sin (\gamma ) & 0 \\
 \sin (\gamma ) & \cos (\gamma ) & 0 \\
 0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right).</math>

Последовательное выполнение этих поворотов даст матрицу

<math>R = R_Z(\gamma) \cdot R_X(\beta) \cdot R_Z(\alpha) = \left(
\begin{array}{ccc}
 \cos (\alpha ) \cos (\gamma )-\cos (\beta ) \sin (\alpha ) \sin (\gamma ) & -\cos
   (\gamma ) \sin (\alpha )-\cos (\alpha ) \cos (\beta ) \sin (\gamma ) & \sin (\beta
   ) \sin (\gamma ) \\
 \cos (\beta ) \cos (\gamma ) \sin (\alpha )+\cos (\alpha ) \sin (\gamma ) & \cos
   (\alpha ) \cos (\beta ) \cos (\gamma )-\sin (\alpha ) \sin (\gamma ) & -\cos
   (\gamma ) \sin (\beta ) \\
 \sin (\alpha ) \sin (\beta ) & \cos (\alpha ) \sin (\beta ) & \cos (\beta ) \\
\end{array}
\right).</math>

Произведение <math>R \cdot \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix}</math>, где <math>x, y, z</math> — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.