Просмотр кода страницы Теорема разложения Гельмгольца

=== Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца ===

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть '''C''' — соленоидальное векторное поле ('''div C=0'''), а ''d'' — скалярное поле в '''R'''³, которые достаточно [[Гладкая функция|гладки]] и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/''r''² на бесконечности. Тогда существует векторное поле '''F''' такое, что
: <math>\nabla \cdot \mathbf{F} = d</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math> \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}.</math>
Если к тому же векторное поле '''F''' рассматривается во всём пространстве '''R'''³ и исчезает при ''r''&nbsp;&rarr;&nbsp;∞, тогда '''F''' единственно.<ref name="griffiths"/> В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве '''R'''³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в [[Электростатика|электростатике]]; например, [[уравнения Максвелла]] в статическом случае описывают поля как раз этого типа<ref name="griffiths"/>. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:
: <math>\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})).</math>