Просмотр кода страницы Теорема о движении центра масс системы

{{Проведена_экспертиза_РАН}}
'''Теоре́ма о движе́нии це́нтра масс (це́нтра ине́рции) системы''' — одна из теорем [[Динамика (физика)|динамики]], следствие [[Законы Ньютона|законов Ньютона]]. Утверждает, что [[ускорение]] [[центр масс|центра масс]] системы не зависит от внутренних [[сила|сил]] взаимодействия между телами системы, и связывает это ускорение с внешними силами, действующими на систему<ref name="Тарг">{{книга |автор=[[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]] |заглавие= Краткий курс теоретической механики|ответственный= |ссылка= |место= М.|издательство= Высшая школа|год= 1995|том= |страниц= 416|страницы=273-280 |isbn=5-06-003117-9}}</ref><ref name="Сивухин">{{книга |автор  = [[Сивухин, Дмитрий Васильевич|Сивухин Д. В.]] |заглавие  =Общий курс физики |ответственный = |ссылка  =    |место   =М. |издательство  =Физматлит; Изд-во МФТИ |год     =2005 |том        =I. Механика |страниц  =560  |страницы   =115-116 |isbn = 5-9221-0225-7}}</ref>.

Системой, о которой идёт речь в теореме, может являться любая механическая система, например, совокупность [[материальная точка|материальных точек]], протяжённое тело или совокупность протяжённых тел.

== Стандартная формулировка теоремы ==
Нередко при рассмотрении движения системы полезно знать закон движения её центра масс. В общем случае этот закон, составляющий содержание теоремы о движении центра масс, формулируется следующим образом<ref name="Тарг" />: 
<center>{{Quotation| Произведение массы системы на ускорение её центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних [[сила|сил]].}}</center>

== Доказательство ==
Пусть система состоит из <math>N</math> материальных точек с массами <math> m_i</math> и радиус-векторами <math>\vec r_i</math>. Центром масс (центром инерции) называется<ref name="Тарг" /><ref name="ФЭЦентр">{{Книга:Физическая энциклопедия|5|автор= [[Тарг, Семён Михайлович|Тарг С. М.]]|статья= Центр инерции (центр масс)|ссылка=  http://www.femto.com.ua/articles/part_2/4506.html |страницы=624-625}}</ref> геометрическая точка, радиус-вектор <math> \vec R_c</math> которой удовлетворяет равенству
: <math> \vec R_c= \frac{\displaystyle\sum \limits_i m_i\vec r_i}{M},\qquad\qquad</math>
где <math> M</math> — масса всей системы, равная <math>\sum \limits_i m_i.</math>

Дифференцируя два раза по времени, для ускорения центра масс <math>\vec a_c</math> получаем:
: <math> \vec a_c= \frac{\displaystyle\sum \limits_i m_i\vec a_i}{M},\qquad\qquad</math>
где <math>\vec a_i</math> — ускорение материальной точки с номером ''i''.

Для последующего рассмотрения разделим все силы, действующие на тела системы, на два типа:
* внешние — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером ''i'', обозначим <math>\vec F_i</math>;
* внутренние — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером ''i'' действует точка с номером  ''k'', будем обозначать <math>\vec f_{i,k}</math>. Соответственно, сила воздействия ''i''-й точки на ''k''-ю точку будет обозначаться <math>\vec f_{k,i}</math>. Для <math>i=k</math> будет <math>\vec f_{i,k}=0.</math>

Используя введённые обозначения, второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек можно записать в виде
: <math>m_i\vec a_i=\vec F_i+\sum \limits_k \vec f_{i,k}.\qquad\qquad</math>
Просуммировав такие уравнения для всех ''i'', получим:
: <math> \sum \limits_i m_i\vec a_i =\sum \limits_i \vec F_i + \sum \limits_i \sum \limits_k \vec f_{i,k}.\qquad\qquad</math>
Выражение <math>\sum \limits_i \sum \limits_k \vec f_{i,k}</math> представляет собой сумму внутренних сил, действующих в системе. 
Учтём теперь, что по третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе <math>\vec f_{i,k}</math> соответствует сила <math>\vec f_{k,i}</math> такая, что <math>\vec f_{i,k}=-\vec f_{k,i}</math> и, значит, выполняется <math>\vec f_{i,k}+\vec f_{k,i}=0.</math> Поскольку вся сумма состоит из таких пар, сама сумма равна нулю. Таким образом, 
: <math> \sum \limits_i m_i\vec a_i = \sum \limits_i \vec F_i.\qquad\qquad</math>
Далее, обозначив <math> \sum \limits_i \vec F_i =\vec F </math> и подставив полученное выражение в равенство для <math>\vec a_c</math>, приходим к уравнению 
: <math> \vec a_c= \frac{\vec F}{M}\,\,\,</math> или <math>\,\, M \vec a_c= \vec F.\qquad\qquad</math>
Таким образом, движение центра масс определяется только внешними силами, а внутренние силы никакого влияния на это движение оказать не могут. Последняя формула и является математическим выражением теоремы о движении центра масс системы.

== Альтернативная формулировка теоремы ==
Вид итоговой формулы для <math>\vec a_c</math> в точности тот же, что и у формулы второго закона Ньютона. Отсюда следует справедливость такой формулировки теоремы о движении центра масс<ref name="Тарг" /><ref name="ФЭЦентр" />:
<center>{{Quotation| Центр масс движется так, как двигалась бы материальная точка, масса которой равна массе системы, под действием силы,  равной сумме всех внешних сил, действующих на систему.}} </center>

== Закон сохранения движения центра масс ==
В отсутствие внешних сил, а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю, ускорение центра масс равно нулю, и, значит, его скорость постоянна. Таким образом, справедливо утверждение, составляющее содержание закона сохранения движения центра масс:
<center>{{Quotation| Если сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то центр масс такой системы движется с постоянной скоростью, т. е. равномерно и прямолинейно.}} </center>
В частности, если первоначально центр масс покоился, то в указанных условиях он будет покоиться и в дальнейшем.

Из  закона сохранения движения центра масс следует, что система отсчёта, связанная с центром масс замкнутой системы, является инерциальной. Использование таких систем отсчёта при изучении механических свойств замкнутых систем предпочтительно, поскольку таким образом исключается из рассмотрения равномерное и прямолинейное движение системы как целого.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. В этом случае проекция ускорения центра масс на это направление также равна нулю и, соответственно, скорость центра масс вдоль этого направления не изменяется.

== Значимость теоремы ==
Доказанная теорема расширяет и обосновывает возможности использования понятия ''материальная точка'' для описания движения тел. Действительно, если тело движется поступательно, то его движение полностью определяется движением центра масс, которое в свою очередь описывается полученным уравнением для <math>\vec a_c</math>. Таким образом, поступательно движущееся тело всегда возможно рассматривать как материальную точку с массой, равной массе тела, независимо от его геометрических размеров. Кроме того, тело можно рассматривать как материальную точку и во всех тех случаях, когда в силу условий задачи вращение тела интереса не представляет, а для определения положения тела достаточно знать положение его центра масс.

Практическая ценность теоремы состоит в том, что при решении задачи об определении характера движения центра масс она позволяет полностью исключить из рассмотрения все внутренние силы.

== История ==
Закон сохранения движения центра масс сформулировал [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]]
в своём знаменитом труде «[[Математические начала натуральной философии]]», изданном в [[1687 год]]у. И. Ньютон писал: «Центр тяжести системы двух или нескольких тел от взаимодействия тел друг на друга не изменяет ни своего состояния покоя, ни движения; поэтому центр тяжести системы всех действующих друг на друга тел (при отсутствии внешних действий и препятствий) или находится в покое, или движется равномерно и прямолинейно»<ref name="Начала">{{книга |автор= [[Ньютон, Исаак|Исаак Ньютон]]. |часть= |ссылка часть= |заглавие= Математические начала натуральной философии|оригинал= Philosophia naturalis principia matematica |ссылка= |викитека= |ответственный= Перевод с латинского и примечания [[Крылов, Алексей Николаевич|А. Н. Крылова]] |издание= |место= М. |издательство= Наука |год= 1989 |том= |страницы=45-49 |страниц= 688 |серия= Классики науки |isbn= 5-02-000747-1 |тираж=}}</ref>. Далее он делал вывод: «Таким образом, поступательное количество движения отдельного ли тела или системы тел, надо всегда рассчитывать по движению центра тяжести их»<ref name="Начала" />.

== См. также ==
* [[Теорема о кинетической энергии системы]]
* [[Теорема об изменении количества движения системы]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Законы классической механики]]
[[Категория:Физические теоремы|Движение центра масс системы]]
[[Категория:Динамика]]
[[Категория:Теоретическая механика]]