Просмотр кода страницы Соленоидальное векторное поле

== Определение ==
[[Векторное поле]] называется '''соленоидальным''', или '''трубчатым'''<ref>{{Книга|ссылка=http://eb.arsu.kz:81/pdfview.aspx?lang=ru&IdP=255&kod=4420|автор=А. М. Анчиков|заглавие=Основы векторного и тензорного анализа|ответственный=под ред. проф. В. Г. Кайгородова|год=1988|место=420008, Казань, ул. Ленина, 18|издательство=Издательство Казанского университета|страницы=27|страниц=130}}</ref>, если через любую замкнутую поверхность ''S'' его [[Поток векторного поля|поток]] равен нулю:

: <math> \int\limits_S \vec a \cdot \vec{ds} = 0</math>.

Другое определение соленоидального поля: векторное поле <math> \vec{a}</math> называют '''соленоидальным,''' если оно является вихрем некоторого поля <math> \vec{b}</math>, то есть <math> \vec{a}=\mathrm{rot}\, \vec{b}</math>. При этом векторное поле <math> \vec{b}</math> называют '''векторным потенциалом поля <math> \vec{a}</math>'''<ref>{{Cite web|url=http://mathmod.bmstu.ru/Docs/Eduwork/kir/KIR10-11.pdf|title=Курс лекций|author=А.Н. Канатников|website=|date=|publisher=МГТУ им. Н.Э.Баумана|accessdate=2019-01-08}}</ref>.

Если это условие выполняется для любых замкнутых ''S'' в некоторой области (по умолчанию - всюду), то это условие равносильно тому, что равна нулю [[дивергенция]] векторного поля <math> \vec a</math>:

: <math> \mathrm{div}\, \vec a 
\equiv  \nabla \cdot \vec a = 0</math>

всюду на этой области (подразумевается, что дивергенция всюду на этой области существует). Поэтому соленоидальные поля называют также '''''бездивергентными'''''.

Для широкого класса областей это условие выполняется тогда и только тогда, когда <math>\vec a</math> имеет [[векторный потенциал]], то есть существует такое векторное поле <math>\vec A</math> (векторный потенциал), что <math>\vec a</math> может быть выражено как его [[ротор (математика)|ротор]]:

: <math> \vec a = \nabla \times \vec A \equiv \mathrm{rot}\, \vec A.</math>

Иначе говоря, поле является вихревым, если оно не имеет источников. Силовые линии такого поля не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми. Вихревое поле порождается не покоящимися зарядами (источниками), а изменением другого связанного с ним поля (например, для электрического поля порождается изменением магнитного). Поскольку в природе не существует [[магнитный монополь|магнитных зарядов]], то [[магнитное поле]] '''всегда''' является вихревым, и его [[линии магнитной индукции|силовые линии]] всегда замкнуты. Силовые линии постоянного магнита хотя и выходят из его полюсов (словно имеют источники внутри), на самом деле замыкаются внутри магнита. Поэтому, разрезав магнит надвое, не удастся получить два отдельных магнитных полюса.

== Примеры ==
* Поле вектора [[Магнитная индукция|магнитной индукции]] (следует из [[Уравнения Максвелла|уравнений Максвелла]], а конкретнее — из [[Теорема Гаусса|теоремы Гаусса]] для магнитного поля).
* Поле [[Скорость|скорости]] [[Несжимаемая жидкость|несжимаемой жидкости]] (следует из [[Уравнение неразрывности|уравнения неразрывности]] при <math>\partial\rho/\partial t = 0</math>).
* Электрическое поле в областях, где отсутствуют источники (заряды). Для соленоидальности поля [[Напряженность электрического поля|'''E''']] необходимо отсутствие (или взаимная компенсация) свободных и связанных зарядов. Для соленоидальности [[Электрическое смещение|'''D''']] достаточно отсутствия только свободных зарядов.
* Поле [[плотность тока|вектора плотности тока]] соленоидально при отсутствии изменения плотности заряда со временем (тогда соленоидальность плотности тока следует из [[Уравнение непрерывности|уравнения непрерывности]]).

== Этимология ==
<!-- From english wiki:
Solenoidal has its origin in the Greek word for [[solenoid]], which is σωληνοειδές (sōlēnoeidēs) and meaning pipe-shaped. This contains σωλην (sōlēn) or pipe. In the present context of solenoidal it means constrained like in a pipe, so with a fixed volume.-->

Слово ''соленоидальный'' происходит от греческого ''соленоид'' (σωληνοειδές), означающее «трубообразно» или «как в трубе», содержащего слово σωλην - ''труба''. {{Нет АИ 2|В данном контексте это означает фиксацию объема для модели текущей жидкости, отсутствие источников и стоков (как при течении в трубе, где новая жидкость не появляется и не пропадает).|15|09|2018}}

== См. также ==
* [[Потенциальное векторное поле]]
* [[Теорема разложения Гельмгольца]]

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Векторный анализ]]