Просмотр кода страницы Правила Кирхгофа

{{К_материалам_ОГЭ/ЕГЭ}}
{{Другие значения|Закон Кирхгофа (химия)}}
{{Другие значения|Закон излучения Кирхгофа}}
{{не путать|Принцип Керкгоффса|Принципом Керкгоффса}}
{{Электродинамика}}

'''Пра́вила Ки́рхгофа'''<ref>Статья Ки́рхгофа правила. Большая советская энциклопедия (2-е издание).</ref> (часто в технической литературе называются ''Зако́нами Ки́рхгофа'') — соотношения, которые выполняются между токами и напряжениями на участках любой [[электрическая цепь|электрической цепи]].

Решения систем [[Линейное уравнение|линейных уравнений]], составленных на основе правил Кирхгофа, позволяют найти все токи и напряжения в электрических цепях постоянного, переменного и [[Стационарность|квазистационарного тока]]<ref>{{Из БСЭ|заглавие=Кирхгофа правила}}</ref>.

Имеют особое значение в электротехнике из-за своей универсальности, так как пригодны для решения многих задач в [[теория электрических цепей|теории электрических цепей]] и практических расчётов сложных электрических цепей.

Применение правил Кирхгофа к линейной электрической цепи позволяет получить [[Система линейных алгебраических уравнений|систему линейных уравнений]] относительно токов или напряжений и, соответственно, при решении этой системы найти значения токов на всех ветвях цепи и все межузловые напряжения.

Сформулированы [[Кирхгоф, Густав|Густавом Кирхгофом]] в [[1845 год в науке|1845 году]]<ref>
{{статья
   |автор=[[Кирхгоф, Густав|Gustav Robert Kirchhoff]]
   |заглавие=Ueber den Durchgang eines elektrischen Stromes durch eine Ebene, insbesondere durch eine kreisförmige
   |издания=[[Annalen der Physik|Annalen der Physik und Chemie]]
   |Том=Band LXIV
   |год=1845
   |страницы=497–514
   |ссылка=http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k151490/f509}}
</ref>.

Название «Правила» корректнее потому, что эти правила не являются фундаментальными законами природы, а вытекают из фундаментальных законов сохранения заряда и безвихревости электростатического поля (третье [[уравнения Максвелла|уравнение Максвелла]] при неизменном магнитном поле).
Эти правила не следует путать с ещё двумя законами Кирхгофа в [[Закон Кирхгофа (химия)|химии]] и [[Закон излучения Кирхгофа|физике]].

== Формулировка правил ==

=== Определения ===
Для формулировки правил Кирхгофа вводятся понятия '''[[Узел (теория электрических цепей)|узел]]''', '''[[Ветвь (теория электрических цепей)|ветвь]]''' и '''[[Контур (теория электрических цепей)|контур]]''' [[электрическая цепь|электрической цепи]]. Ветвью называют участок электрической цепи с одним и тем же током, например, на рис. отрезок, обозначенный R<sub>1</sub>, I<sub>1</sub> есть ветвь. Узлом называют точку соединения трех и более ветвей (на рис. обозначены жирными точками). Контур — замкнутый путь, проходящий через несколько ветвей и узлов разветвлённой электрической цепи. Термин ''замкнутый путь'' означает, что, начав с некоторого узла цепи и '''однократно''' пройдя по нескольким ветвям и узлам, можно вернуться в исходный [[Узел цепи|узел]]. Ветви и узлы, проходимые при таком обходе, принято называть принадлежащими данному контуру. При этом нужно иметь в виду, что ветвь и узел могут принадлежать одновременно нескольким контурам.

В терминах данных определений правила Кирхгофа формулируются следующим образом.

=== Первое правило ===
[[Файл:KCL - Kirchhoff's circuit laws.svg|thumb|200px|Сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает.<br>''i''<sub>2</sub> + ''i''<sub>3</sub> = ''i''<sub>1</sub> + ''i''<sub>4</sub>]]

Первое правило Кирхгофа (правило токов Кирхгофа) гласит, что [[алгебраическая сумма]] [[сила тока|токов]] ветвей, сходящихся в каждом узле любой цепи, равна нулю. При этом направленный к узлу ток принято считать положительным, а направленный от узла — отрицательным: Алгебраическая сумма токов, направленных к узлу, равна сумме направленных от узла.

: <math>\sum\limits^n_{j=1}I_j=0.</math>

Иными словами, сколько тока втекает в узел, столько из него и вытекает. Это правило следует из фундаментального [[Закон сохранения электрического заряда|закона сохранения электрического заряда]].

Однако при расчетах следует учитывать, что это правило применимо только в случае пренебрежимо малой емкости узла. В противном случае первое правило может нарушаться, что особенно заметно при высокочастотных токах.

=== Второе правило ===
[[Файл:Kirchhoff voltage law.svg|thumb|200px|Правило напряжений Кирхгофа<br>
v<sub>1</sub> + v<sub>2</sub> + v<sub>3</sub> +v<sub>4</sub> = 0]]
Второе правило Кирхгофа (правило напряжений Кирхгофа) гласит, что [[алгебраическая сумма]] [[Электрическое напряжение|напряжений]] на резистивных элементах замкнутого контура равна алгебраической сумме [[Электродвижущая сила|ЭДС]], входящих в этот контур. Если в контуре нет источников ЭДС (идеализированных генераторов напряжения), то суммарное падение напряжений равно нулю:
: для постоянных напряжений <math>\sum^n_{k=1} E_k= \sum^m_{k=1}U_k=\sum^m_{k=1}R_kI_k;</math>
: для переменных напряжений <math>\sum^n_{k=1} e_k= \sum^m_{k=1}u_k=\sum^m_{k=1}R_ki_k+\sum^m_{k=1}u_{L\,k}+\sum^m_{k=1}u_{C\,k}.</math>
'''Это правило вытекает из 3-го уравнения Максвелла, в частном случае стационарного магнитного поля.'''

Иными словами, при полном обходе контура потенциал, изменяясь, возвращается к исходному значению. Частным случаем второго правила для цепи, состоящей из одного контура, является [[закон Ома]] для этой цепи. При составлении уравнения напряжений для контура нужно выбрать положительное направление обхода контура. При этом падение напряжения на ветви считают положительным, если направление обхода данной ветви совпадает с ранее выбранным направлением тока ветви, и отрицательным — в противном случае (см. далее).

Правила Кирхгофа справедливы для линейных и нелинейных линеаризованных цепей при любом характере изменения во времени токов и напряжений.

== Особенности составления уравнений для расчёта токов и напряжений ==
Если цепь содержит <math>p</math> узлов, то она описывается <math>p-1</math> уравнениями токов. Это правило может применяться и для других физических явлений (к примеру, система трубопроводов жидкости или газа с насосами), где выполняется закон сохранения частиц среды и [[Поток векторного поля|потока]] этих частиц.

Если цепь содержит <math>m</math> ветвей, из которых содержат источники тока ветви в количестве <math>m_i</math>, то она описывается <math>m-m_i-(p-1)</math> уравнениями напряжений.

* Правила Кирхгофа, записанные для <math>p-1</math> узлов или <math>m-(p-1)</math> контуров цепи, дают полную систему линейных уравнений, которая позволяет найти все токи и все напряжения.
* Перед тем, как составить уравнения, нужно произвольно выбрать:
** положительные направления токов в ветвях и обозначить их на схеме, при этом не обязательно следить, чтобы в узле направления токов были и втекающими, и вытекающими, окончательное решение системы уравнений всё равно даст правильные знаки токов узла;
** положительные направления обхода контуров для составления уравнений по второму закону, с целью единообразия рекомендуется для всех контуров положительные направления обхода выбирать одинаковыми (напр.: по часовой стрелке).
* Если направление тока совпадает с направлением обхода контура (которое выбирается произвольно), падение напряжения считается положительным, в противном случае — отрицательным.
* При записи линейно независимых уравнений по второму правилу Кирхгофа стремятся, чтобы в каждый новый контур, для которого составляют уравнение, входила хотя бы одна новая ветвь, не вошедшая в предыдущие контуры, для которых уже записаны уравнения по второму закону ('''достаточное, но не необходимое условие''').
* В сложных непланарных [[Граф (математика)|графах]] электрических цепей человеку трудно увидеть независимые контуры и узлы, каждый независимый контур (узел) при составлении системы уравнений порождает ещё 1 линейное уравнение в определяющей задачу системе линейных уравнений. Подсчёт количества независимых контуров и их явное указание в конкретном графе развит в [[теория графов|теории графов]].

== Пример ==
[[Файл:Illustration of Kirchhoffs circuit laws.gif|thumb|right|На этом рисунке для каждой ветви обозначен протекающий по ней ток (буквой «I») и напряжение между соединяемыми ею узлами (буквой «U»)]]

Количество узлов: 3.

<math>p-1=2</math>

Количество ветвей (в замкнутых контурах): 4. Количество ветвей, содержащих источник тока: 0.

<math>m-m_i-(p-1)=2</math>

Количество контуров: 2.

Для приведённой на рисунке цепи, в соответствии с первым правилом, выполняются следующие соотношения:
: <math>\begin{cases} I_1-I_2-I_6=0\\
I_2-I_4-I_3=0\end{cases}</math>

Обратите внимание, что для каждого узла должно быть выбрано положительное направление, например, здесь токи, втекающие в узел, считаются положительными, а вытекающие — отрицательными.

Решение полученной линейной системы алгебраических уравнений позволяет определить все токи узлов и ветвей, такой подход к анализу цепи принято называть ''[[метод контурных токов|методом контурных токов]]''.

В соответствии со вторым правилом, справедливы соотношения:

: <math>\begin{cases}U_2+U_4-U_6=0\\ U_3+U_5-U_4=0\end{cases}</math>

Полученные системы уравнений полностью описывают анализируемую цепь, и их решения определяют все токи и все напряжения ветвей. Такой подход к анализу цепи принято называть ''[[Метод узловых потенциалов|методом узловых потенциалов]]''.

== О значении для электротехники ==
Правила Кирхгофа имеют прикладной характер и позволяют наряду и в сочетании с другими приёмами и способами ([[метод эквивалентного генератора]], [[принцип суперпозиции]], способ составления потенциальной диаграммы) решать задачи электротехники. Правила Кирхгофа нашли широкое применение благодаря простоте формулировки уравнений и возможности их решения стандартными способами линейной алгебры ([[Метод Крамера|методом Крамера]], [[Метод Гаусса|методом Гаусса]] и др.).

== Значение в математике ==
Первое правило Кирхгофа может быть сформулировано в матричном виде. Именно, пусть электрическая цепь состоит из <math>n</math> узлов. Составим матрицу <math>A = \{a_{ij}\}_{i,j=1}^n</math>, где <math>a_{ij}</math> при <math>i \neq j</math> есть [[проводимость]] ветви, соединяющей узлы с номерами <math>i</math> и <math>j</math> (если они не соединены, можно мысленно соединить их ветвью нулевой проводимости). При этом <math>a_{jj} = \sum_{i=1,~i \neq j}^n(-a_{ij})</math>. Пусть <math>\varphi</math> — потенциал, который мы рассматриваем как функцию, определённую на множестве узлов (или, что то же самое, вектор <math>\mathbf{u} = (\varphi_1, \varphi_2, \dots, \varphi_n)</math> в <math>n</math>-мерном пространстве <math>\R^n</math>). Тогда по определению проводимости имеем <math>I_{ij} = a_{ij}(\varphi_i-\varphi_j)</math>, где <math>I_{ij}</math> — ток в ветви, идущей из вершины <math>i</math> в вершину <math>j</math>. Стало быть, первое правило Кирхгофа для <math>j</math>-того узла можно записать как <math>\sum_{i=1,~i \neq j}^n I_{ij} = \sum_{i=1,~i \neq j}^na_{ij}(\varphi_i - \varphi_j) = 0</math>, или же <math>\sum_{i=1,~i \neq j}^na_{ij}\varphi_i + \left(\sum_{i=1,~i \neq j}^n(-a_{ij})\right)\varphi_j = \sum_{i=1,~i \neq j}^na_{ij}\varphi_i + a_{jj}\varphi_j = 0</math>, или же, учитывая определение диагональных элементов матрицы, как <math>\sum_{i=1}^na_{ij}\varphi_i = 0</math>. В левой части равенства легко узнать координату произведения матрицы <math>A</math> на вектор-столбец <math>\mathbf{u}</math>.

Итак, '''первое''' правило Кирхгофа в матричном виде гласит:

<math>\begin{Vmatrix} 
a_{11} & a_{21} & \dots & a_{n1} \\
a_{12} & a_{22} & \dots & a_{n2} \\
... & ... & ... & ... \\
a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{nn}
\end{Vmatrix} 

\begin{Vmatrix} \varphi_1 \\ \varphi_2 \\ ... \\ \varphi_n \end{Vmatrix}

= 0 \Leftrightarrow A^T\mathbf{u} = \mathbf{0}</math>.

В таком виде оно допускает обобщение на проводящие поверхности. У криволинейной поверхности проводимость зависит не только от точки, но и от направления. Иными словами, проводимость является функцией на [[касательное расслоение|касательных векторах]] к поверхности. Если считать, что на касательных пространствах она хорошо приближается положительно определённой квадратичной формой, можно говорить о ней как о [[риманова метрика|римановой метрике]] <math>g</math> (отличающейся от расстояния на поверхности как геометрической форме, учитывающей неизотропность её электрических свойств). Каждая точка поверхности может служить узлом, и потому потенциал будет уже не вектором, а функцией <math>u</math> на поверхности. Аналогом же матрицы проводимостей будет [[оператор Лапласа — Бельтрами]] <math>\Delta_g</math> метрики-проводимости, который действует на пространстве гладких функций. Первое правило Кирхгофа для поверхности гласит ровно то же: <math>\Delta_gu=0</math>. Иначе говоря, потенциал есть [[гармоническая функция]].

В связи с этим матрицу <math>A</math>, сопоставляемую произвольному [[взвешенный граф|взвешенному графу]], за исключением диагонали равную [[матрица смежности|матрице смежности]], иногда называют ''дискретным лапласианом''. Аналоги теорем о гармонических функциях, такие как существование гармонической функции в области с краем при заданных значениях на крае, получающейся свёрткой с некоторым ядром, имеют место и для дискретных гармонических функций. Обратно, проводящая поверхность может быть приближена сеткой сопротивлений, и дискретные гармонические функции на этой сетке приближают гармонические функции на соответствующей поверхности. На этом обстоятельстве основан [[Гершгорин, Семён Аронович|интегратор Гершгорина]], аналоговая вычислительая машина, использовавшаяся для решения уравнения Лапласа в 30-х — 70-х годах XX века.

В случае проводящей поверхности вместо разности потенциалов имеет смысл говорить об [[1-форма|1-форме]] <math>du</math>. Связанное с ней при помощи метрики-проводимости векторное поле <math>\mathrm{grad}_g(u)</math> — и есть электрический ток на этой поверхности. Согласно первому правилу Кирхгофа, эта 1-форма тоже гармонична (то есть лежит в ядре [[ходжев лапласиан|ходжева лапласиана]], определённого на дифференциальных формах). Это даёт ключ к тому, как правильно формулировать закон Кирхгофа для случая, когда поле не потенциально: именно, 1-форма, получающаяся из тока, рассматриваемого как векторное поле, при помощи проводимости, рассматриваемой как риманова метрика, должна быть гармонична. Зная электродвижущую силу вокруг каждого топологически нетривиального контура на поверхности, можно восстановить силу и направление тока в каждой точке, притом единственным способом. В частности, размерность пространства всевозможных токов равна размерности пространства топологически нетривиальных контуров. Этот факт был одним из оснований для открытия [[двойственность Пуанкаре|двойственности Пуанкаре]]; то обстоятельство, что электродвижущие силы определяют однозначно ток (гармоническую 1-форму), является частным случаем [[теория Ходжа|теории Ходжа]] для 1-форм (теория Ходжа утверждает, что на римановом многообразии всякий класс [[когомологии де Рама|когомологий де Рама]] представляется гармонической формой, притом только одной).

== Закон излучения Кирхгофа ==
{{main|Закон излучения Кирхгофа}}
Закон излучения Кирхгофа гласит — отношение излучательной способности любого тела к его поглощательной способности одинаково для всех тел при данной температуре для данной частоты для равновесного излучения и не зависит от их формы, химического состава и проч.

== Закон Кирхгофа в химии ==
{{main|Закон Кирхгофа (химия)}}
Закон Кирхгофа гласит — температурный коэффициент [[Тепловой эффект химической реакции|теплового эффекта]] химической реакции равен изменению теплоёмкости системы в ходе реакции.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=Матвеев А. Н. |заглавие=Электричество и магнетизм : учебное пособие |место={{М}} |издательство=Высшая школа |год=1983 |страниц=463}}
* {{книга |автор=Калашников С. Г. |заглавие=Электричество : учебное пособие |место={{М}} |издательство=Физматлит |год=2003 |страниц=625}}
* {{книга |автор=Бессонов Л. А. |заглавие=Теоретические основы электротехники. Электрические цепи |место={{М}} |издательство=Гардарики |год=2007 |издание=11-е издание}}
* {{книга | автор  = Герасимов В. Г., Кузнецов Э. В., Николаева О. В. | заглавие = Электротехника и электроника. Кн. 1. Электрические и магнитные цепи | место = М. | издательство  = Энергоатомиздат | год = 1996 | страниц  = 288 | isbn = 5-283-05005-X |  ref  = Герасимов}}

[[Категория:Электричество]]
[[Категория:Электротехника]]
[[Категория:Именные законы и правила|Кирхгофа]]
[[Категория:Уравнения сохранения]]