Просмотр кода страницы Ковариантность и контравариантность (математика)

== Ковариантность и контравариантность в векторных пространствах ==

=== Контравариантные и ковариантные векторы ===
[[Файл:Vector 1-form.svg|400px|thumb| {{color box|#CC0000}} вектор '''v''', описанный в терминах
{{глосс}}
 {{терм|касательного базиса}}
   {{опр|{{color box|orange}} '''e'''{{sub|1}}, '''e'''{{sub|2}}, '''e'''{{sub|3}} в {{color box|black}} координатных кривых (''слева''),}}
 {{терм|дуального базиса, ковекторного базиса или взаимного базиса}}
   {{опр|{{color box|blue}} '''e'''{{sup|1}}, '''e'''{{sup|2}}, '''e'''{{sup|3}} в {{color box|#4B545B}} координатных поверхностях (''справа''),}}
{{конец-глосс}}
в [[Трёхмерное пространство|3-d]] общих ''[[Криволинейная система координат|криволинейных координатах]]'' {{nowrap|(''q''{{sup|1}}, ''q''{{sup|2}}, ''q''{{sup|3}})}}, [[Кортеж (информатика)|кортеж]] чисел для определения точки в [[Система координат|координатном пространстве]]. Обратите внимание, что базис и кобазис совпадают только тогда, когда базис [[Ортогональный базис|ортогональный]].<ref>
 {{книга
|заглавие=Gravitation
|издательство=W.H. Freeman & Co
|год=1973
|isbn=0-7167-0344-0
|язык=und
|автор=J.A. Wheeler; C. Misner; K.S. Thorne
}}</ref>  
]]
Пусть <math>V</math> — некоторое конечномерное [[векторное пространство]], и в нём задан некоторый базис <math>e_i, i=1..n</math>. Произвольный вектор <math>x</math> можно представить как линейную комбинацию векторов базиса: <math>x=\sum^n_{i=1}x_ie_i</math>. В целях упрощения записи (и по причинам, которые станут ясны ниже) обозначим координаты с верхним индексом и примем [[Соглашение Эйнштейна|правило Эйнштейна]]: если в выражении участвуют одинаковые разноуровневые индексы, то по ним предполагается суммирование. Таким образом, можно записать: <math>x=x^ie_i</math>. Зададим новый базис с помощью матрицы преобразования <math>S</math>. По тем же соображениям введём нижние и верхние индексы (чтобы не писать знаки суммирования) — <math>S^j_i</math>. Тогда <math>e'_i=S^j_ie_j</math> (предполагается суммирование по индексу j). Обозначив обратную матрицу <math>T=S^{-1}</math>, можно записать: <math>e_j=T^i_je'_i</math>. Подставив эту формулу в координатное представление вектора x, получим: <math>x=x^jT^i_je'_i</math>. Таким образом, координаты вектора в новом базисе оказываются равными <math>x'^i=T^i_jx^j</math>, то есть преобразуются «противоположно» (обратно) изменению базиса. По этой причине такие векторы называют '''''контравариантными''''' — изменяющимися противоположно базису. Контравариантные векторы — это обычные векторы. Контравариантные векторы в координатном представлении обычно записывают как «вектор-столбец». Для идентификации контравариантных векторов используется верхний, или ''контравариантный'', индекс.

Пространство всех линейных функционалов, отображающих векторы в числа, называют [[Сопряжённое пространство|сопряжённым пространством]] <math>V^*</math>. Оно также является векторным пространством той же размерности, что и основное пространство. В этом пространстве также можно определить базис. Обозначим элементы базиса сопряжённого пространства с верхним индексом <math>g^i</math>. Любой функционал можно представить в этом базисе через координаты, которые будем обозначать нижними индексами. Тогда, применяя правило Эйнштейна, можем записать: <math>f=f_ig^i</math>, то есть любой линейный функционал можно записать просто набором чисел <math>f_i</math>, как обычный вектор (за исключением нижнего расположения индекса).

Выберем базис в сопряженном пространстве так, что <math>g^i(x)=x^i</math>, то есть эти функционалы находят <math>i</math>-ю координату вектора (проекцию на базисный вектор <math>e_i</math>). Такой базис называют ''дуальным'' (базису основного пространства). При смене базиса основного пространства необходимо сохранить это условие, то есть <math>g'^i(x)=x'^i=T^i_jx^j=T^i_jg^j(x)</math>. Таким образом, дуальный базис изменяется обратно изменению основного базиса. Координаты произвольного линейного функционала <math>f_i</math> будут меняться противоположно собственному базису (как и в любом пространстве), то есть с помощью матрицы <math>T^{-1}=S</math>. Следовательно, они будут меняться так, как основной базис. Это свойство называют '''''ковариантностью'''''. Сами линейные функционалы в координатном представлении в дуальном базисе называют ''ковариантными векторами'', или кратко — '''''ковекторами'''''. Внешне ковектор «выглядит» как обычный вектор — в смысле обычного набора чисел, представляющих его координаты. Отличие ковектора от контрвариантного вектора заключается в правиле преобразования его координат при смене базиса: они преобразуются так, как базис, в отличие от контравариантных векторов, преобразующихся противоположно базису. Ковекторы в координатной форме записывают как «вектор-строку». Для идентификации ковекторов используется нижний, или ''ковариантный'', индекс.

=== Контравариантность и ковариантность тензоров ===
Сказанное про контравариантность и ковариантность векторов можно обобщить на объекты с несколькими индексами — [[тензор]]ы, частными случаями которых и являются векторы и ковекторы.

По аналогии с линейным функционалом рассмотрим функционал, ставящий в соответствие нескольким (<math>k</math>) векторам пространства <math>V</math> некоторое число, обладающий свойством ''линейности'' по каждому вектору. Это так называемые '''''полилинейные функции'''''. Можно показать, что все <math>k</math>-линейные функции образуют линейное пространство, в котором можно также ввести базис и представить произвольную <math>k</math>-линейную функцию в координатном виде. Можно также показать, что их координаты преобразуются как базис основного пространства (так же как и ковариантные векторы). Поэтому такие полилинейные функции называют <math>k</math> ''раз ковариантными тензорами''. Их записывают с нижними индексами. Например, дважды ковариантный тензор обозначается так <math>A_{ij}</math>.

Аналогично можно рассматривать полилинейные функции не в основном пространстве, а в сопряженном пространстве <math>V^*</math>, совокупность которых также образует линейное пространство <math>V^{**}</math>, которое является сопряженным к <math>V^*</math>. В координатном представлении в дуальном базисе они преобразуются так же, как базис пространства <math>V^*</math>, а значит — противоположно базису основного пространства <math>V</math>. То есть они обладают свойством контравариантности и называются ''<math>k</math> раз контравариантным тензором''. Их обозначают с верхними индексами. В частности, дважды контравариантный тензор запишется как <math>A^{ij}</math>.

Для рассматриваемых обычно пространств выполняется так называемый канонический изоморфизм <math>V</math> и <math>V^{**}</math>, то есть эти пространства можно считать неразличимыми. Поэтому 1-раз контравариантный тензор можно считать эквивалентным обычному контравариантному вектору.

Обобщая приведённые определения, можно рассматривать полилинейные функции от векторов и ковекторов одновременно. Соответственно, при смене базиса координатная запись такой функции будет преобразовываться с участием как матрицы преобразования основного базиса (в количестве ковекторов, участвующих в полилинейной функции), так и обратного ему (в количестве векторов полилинейной функции). Соответствующий тензор называют ''m раз контравариантным и k раз ковариантным'' — <math>T^m_k</math>. Для ковариантных компонент используют нижние индексы, для контравариантных — верхние. Например, 1-раз контравариантный и 1 раз ковариантный тензор обозначается <math>A^i_j</math>. Общее количество индексов <math>k+m</math> называется ''рангом'', или ''валентностью'', тензора. Компонентами тензора являются значения полилинейной функции на базисных векторах. Например, <math>A^i_j = A(e^i, e_j)</math>.

Операция суммирования по одинаковым разноуровневым индексам тензоров называется ''свёрткой'' по этим индексам. Как уже было указано выше, по правилу Эйнштейна знак суммирования пропускают. В результате свёртки тензора по паре индексов его ранг уменьшается на 2. Например, отображение некоторого контравариантного вектора с помощью некоторого линейного оператора в тензорной записи будет иметь вид <math>y^i= A^i_j x^j</math>. Линейные операторы являются классическим примером тензора типа <math>T^1_1</math>.

При преобразовании тензора типа <math>T^m_k</math> при смене базиса m раз используется прямая матрица преобразования базиса и k раз обратная. Например, тензор <math>A^i_j</math> типа <math>T^1_1</math> при смене базиса преобразуется следующим образом:

<math>A^{i'}_{j'} = T^q_{j'} S^{i'}_p A^p_q</math>

Вообще, необходимо понимать, что сам объект от представления его в базисе не зависит. Все преобразования — это представления одного и того же объекта (тензора).

=== Метрический тензор ===
Если в линейном пространстве введено [[скалярное произведение]] <math>g</math> — билинейная форма (или в тензорной терминологии — ''дважды ковариантный тензор''), обладающая свойствами симметричности и невырожденности, то такие пространства (конечномерные) называют ''евклидовыми'' (при условии положительной определённости соответствующей квадратичной формы <math>g(x,x)</math>) или ''псевдоевклидовым'' (без ограничения знака квадратичной формы). Соответствующий этой билинейной форме тензор называют ''метрическим тензором''. Компоненты этого тензора в данном базисе <math>g_{ij}=g(e_i,e_j)</math>. Если этот базис ортонормированный (такой базис всегда существует в (псевдо)евклидовом пространстве), то матрица компонент является диагональной. На диагонали в случае евклидового пространства — единицы (единичная матрица). В случае псевдоевклидового пространства на диагонали кроме единиц имеются также и «минус-единицы». В общем случае, однако, базисы могут быть не ортогональными, поэтому метрический тензор может быть представлен и недиагональной матрицей (тем не менее в «плоском» пространстве всегда существует преобразование базиса, которое приводит его к диагональному виду).

С помощью метрического тензора скалярное произведение запишется как <math>g(x,y)=g_{ij}x^iy^j</math>. В пространствах со скалярным произведением имеет место канонический изоморфизм пространства <math>V</math> и сопряжённого пространства <math>V^*</math>, то есть каждому вектору ставится в соответствие ковектор и наоборот. Это соответствие осуществляется как раз с помощью скалярного произведения или в тензорной записи — с помощью метрического тензора. А именно, можно записать <math>x_i=g_{ij}x^j</math>. Эта операция называется ''опусканием или спуском индекса''. Обратное соответствие осуществляется с помощью контравариантного метрического тензора <math>x^j=g^{ij}x_i</math>. Эта операция называется ''поднятием или подъёмом индекса''. Несложно показать, что матрицы ковариантного и контравариантного метрических тензоров взаимно-обратны, то есть <math>g_{ik}g^{kj}=\delta^j_i</math>. Скалярное произведение можно выразить как в контравариантных, так и в ковариантных векторах: <math>g(x,y)=g_{ij}x^iy^j=x_iy^i=x^iy_i=g^{ij}x_iy_j</math>.

В случае ортонормированного базиса в евклидовом пространстве метрический тензор — единичная матрица, поэтому ковариантный вектор в координатной записи совпадает с контравариантным. Поэтому в этом случае деление векторов на контравариантные и ковариантные не является необходимым. Однако уже при неортогональности базиса и (или) псевдоевклидовости пространства такое разграничение имеет значение. В псевдоевклидовом пространстве в ортогональном базисе ковекторы различаются знаками некоторых координат от обычного вектора. Система векторов и ковекторов в таком случае позволяет записывать формулу для квадрата длины вектора аналогично случаю евклидового пространства <math>x_ix^i</math>. В случае неортогональных (косоугольных) базисов в евклидовых (псевдоевклидовых) пространствах метрический тензор, преобразующий контравариантные векторы в ковариантные, не является диагональным. При этом длина вектора записывается также как в евклидовом пространстве с помощью контравариантных и ковариантных векторов. Все эти случаи объединяет одно — метрический тензор (в данном базисе) имеет одинаковую матрицу для всех точек (векторов) пространства.

В пространствах с метрическим тензором «ковариантный вектор» и «контравариантный вектор» являются фактически разными представлениями (записями в виде набора чисел) одного и того же геометрического объекта — [[Вектор (математика)|обычного вектора]] или [[ковектор]]а. То есть один и тот же вектор может быть записан как ковариантный (то есть набор ковариантных координат) и контравариантный (то есть набор контравариантных координат). То же можно сказать о ковекторе. Преобразование одного представления в другое осуществляется просто свёрткой с [[Метрический тензор|метрическим тензором]]. Содержательно же векторы и ковекторы различают лишь по тому, какое из представлений для них естественно. Естественным для обычного вектора является контравариантное представление. Для ковариантного вектора естественным является свертка с обычными векторами без участия метрики. Примером ковариантного вектора является градиент скалярной функции <math>\mathbf{grad} f(\mathbf{x})=\frac {\partial f} {\partial x^i}=\partial_if</math>. Его свёртка с контравариантным (обычным) вектором <math>dx^i</math> даёт инвариант — дифференциал функции <math>df(x)</math>. Таким образом, если мы принимаем <math>dx^i</math> в качестве обычных векторов пространства, то градиент должен быть ковектором, чтобы при свёртывании не нужно было использовать метрический тензор. При этом сами векторы <math>dx^i</math> требуют при свёртывании с такими же векторами использования метрического тензора <math>\ (dx)^2 = g_{ij} dx^i dx^j </math>.

Если речь идет об обычном физическом пространстве, простым признаком ковариантности-контравариантрности вектора является то, как свёртывается его естественное представление с набором координат пространственного перемещения <math>\ dx^i</math>, являющегося образцом контравариантного вектора. Те, что свёртываются с <math>\ dx^i</math> посредством простого суммирования, без участия метрики, — это ковариантные векторы, а те, что с участием метрики — это контравариантные векторы. Если же пространство и координаты настолько абстрактны, что нет способа различить главный и дуальный базис, кроме как произвольным условным выбором, то содержательное различие между ковариантными и контравариантными векторами пропадает, или становится также чисто условным.

Нередко ковариантным вектором, особенно в физической литературе, называют разложение любого вектора (то есть вектора или ковектора, вектора касательного или кокасательного пространства) по дуальному базису. Тогда речь идет о наборе ковариантных координат любого объекта, обычно, однако, каждый тип объектов стараются записывать в естественном для него базисе, что соответствует основному определению.