Просмотр кода страницы Законы Кеплера

{{Проведена_экспертиза_РАН}}
[[Файл:Plocha pruvodice.png|270px|thumb]]
'''Зако́ны Ке́плера''' — три эмпирических соотношения, установленные [[Кеплер, Иоганн|Иоганном Кеплером]] на основе длительных астрономических наблюдений [[Тихо Браге]]<ref name=Holton>{{cite book |title=Physics, the Human Adventure: From Copernicus to Einstein and Beyond |author=Holton, Gerald James |author2=Brush, Stephen G. |pages=40–41 |url=https://books.google.com/books?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA40 |edition=3rd paperback |isbn=978-0-8135-2908-0 |publisher=Rutgers University Press |location=Piscataway, NJ |access-date=December 27, 2009 |date=2001 }} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=czaGZzR0XOUC&pg=PA40 |date=20211212120346 }}</ref>. Изложены Кеплером в работах, опубликованных между 1609<ref>Astronomia nova Aitiologitis, seu Physica Coelestis tradita Commentariis de Motibus stellae Martis ex observationibus G.V. Tychnonis. Prague 1609.</ref> и 1619<ref name = "Kepler 1619">Johannes Kepler, ''Harmonices Mundi'' [The Harmony of the World] (Linz, (Austria): Johann Planck, 1619), book 5, chapter 3, [https://archive.org/details/ioanniskepplerih00kepl/page/189 p. 189.]</ref> годами. Описывают идеализированную [[Гелиоцентрическая орбита|гелиоцентрическую орбиту]] планеты.

Соотношения Кеплера позволили [[Ньютон, Исаак|Ньютону]] постулировать [[закон всемирного тяготения]], который стал фундаментальным в классической механике. В её рамках законы Кеплера являются решением [[Задача двух тел|задачи двух тел]] в случае пренебрежимо малой массы планеты, то есть в предельном переходе <math>m_p/m_s \rightarrow 0</math>, где <math>m_p</math>, <math>m_s</math> — массы планеты и звезды соответственно.

== Формулировки ==

=== Первый закон Кеплера (закон эллипсов) ===
 [[Файл:Kepler's law 1 ru.svg|thumb|270px|Первый закон Кеплера]]
'''Каждая планета [[Солнечная система|Солнечной системы]] движется по [[эллипс]]у, в одном из фокусов которого находится [[Солнце]].'''

Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением <math>e=\frac{c}{a}</math>, где <math>c</math> — расстояние от центра эллипса до его фокуса (фокальное расстояние), <math>{a}</math> — [[большая полуось]]. Величина <math>e</math> называется [[эксцентриситет]]ом эллипса. При <math>c=0</math>, и, следовательно, <math>e=0,</math> эллипс превращается в окружность.

=== Второй закон Кеплера (закон площадей) ===
[[Файл:Kepler's law 2 ru.svg|thumb|270px|Второй закон Кеплера]]
'''Каждая планета движется в плоскости, проходящей через центр Солнца, причём за равные промежутки времени радиус-вектор, соединяющий Солнце и планету, описывает собой равные площади.'''

Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: '''[[перигелий]]''' — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и '''[[афелий]]''' — наиболее удалённая точка орбиты. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.

Каждый год в начале января Земля, проходя через перигелий, движется быстрее, поэтому видимое перемещение Солнца по [[эклиптика|эклиптике]] к востоку также происходит быстрее, чем в среднем за год. В начале июля Земля, проходя афелий, движется медленнее, поэтому и перемещение Солнца по эклиптике замедляется. Закон площадей указывает также, что сила, управляющая орбитальным движением планет, направлена к Солнцу.

=== Третий закон Кеплера (гармонический закон) ===
'''Квадраты [[Период обращения|периодов обращения]] планет вокруг Солнца относятся, как кубы [[Большая полуось#Эллипс|больших полуосей]] [[Гелиоцентрическая орбита|орбит]] планет.'''
: <math>\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{a_1^3}{a_2^3}</math>,
[[Файл:Третий закон Кеплера.jpg|thumb|270px|Третий закон Кеплера]]
где <math>T_1</math> и <math>T_2</math> — периоды обращения двух планет вокруг Солнца, а <math>a_1</math> и <math>a_2</math> — длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.

[[Ньютон, Исаак|Ньютон]] установил, что [[гравитация|гравитационное притяжение]] планеты определённой массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Он показал также, что третий закон Кеплера не совсем точен — в действительности в него входит и масса планеты:

: <math>\frac{T_1^2(M+m_1)}{T_2^2(M+m_2)} = \frac{a_1^3}{a_2^3}</math>,

где <math>M</math> — масса Солнца, а <math>m_1</math> и <math>m_2</math> — массы планет.

Поскольку движение и масса оказались связаны, эту комбинацию гармонического закона Кеплера и закона тяготения Ньютона используют для определения массы планет и спутников, если известны их орбиты и орбитальные периоды.

== Вывод законов Кеплера из законов классической механики ==
<div class="NavContent" style="text-align:left;">

=== Вывод Первого закона Кеплера ===
Рассмотрим движение в [[полярные координаты|полярных координатах]] <math>(r,\theta)</math>, центр которых совпадает с центром масс системы (приближенно, совпадает с Солнцем).

Пусть <math>\mathbf r </math> — радиус-вектор к планете, за <math>\hat\mathbf r = \mathbf r/r</math> обозначим единичный вектор, указывающий его направление. Аналогично введём <math>\hat\boldsymbol\theta</math> — единичный вектор, перпендикулярный <math>\mathbf r</math>, направленный в сторону увеличения полярного угла <math>\theta</math>. Запишем производные по времени, обозначая их точками:

: <math>\dot\mathbf r=\dot r\hat\mathbf r + r\dot\theta\hat\boldsymbol\theta</math>

: <math>\ddot\mathbf r = (\ddot r - r\dot\theta^2)\hat{\mathbf{r}} + (r\ddot\theta + 2\dot r \dot\theta)\hat{\boldsymbol\theta}</math>

[[Классическая теория тяготения Ньютона|Закон всемирного тяготения Ньютона]] гласит, что «каждый объект во Вселенной притягивает каждый другой объект по линии, соединяющей центры масс объектов, пропорционально массе каждого объекта, и обратно пропорционально квадрату расстояния между объектами». То есть ускорение имеет вид:

: <math> \mathbf{a} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = f(r)\hat{\mathbf{r}}.</math>

Или в координатной форме:

: <math>\begin{cases}
\ddot r - r\dot\theta^2 = f(r),\\
r\ddot\theta + 2\dot r\dot\theta = 0;
\end{cases}</math>

Во втором уравнении распишем <math>\ddot\theta</math> и <math>\dot r</math>:

: <math>r  { d \dot\theta \over dt } + 2 {dr \over dt} \dot\theta = 0,</math>

Избавляясь от времени и разделяя переменные, получим:

: <math>\frac{d\dot\theta}{\dot\theta} = -2\frac{dr}{r}.</math>

Интегрирование которого даст:

: <math>\ln\dot\theta = -2\ln r + C,</math>
Полагая <math>C = \ln\ell</math> и упрощая логарифмы имеем окончательно

: <math>r^2\dot\theta = \ell</math>

Константа <math>\ell</math> по смыслу является удельным угловым моментом (<math>\ell=\mathbf{r}\times \mathbf{v}</math>). Мы показали, что в в поле центральных сил он сохраняется.

Для работы с первым уравнением удобно произвести замену:

: <math>r = \frac{1}{u},</math>
И переписать производные, попутно избавляясь от времени
: <math>\dot r = -\frac{1}{u^2}\dot u =-\frac{1}{u^2}\frac{du}{dt}=  -\frac{1}{u^2}\frac{d\theta}{dt}\frac{du}{d\theta}= -\ell\frac{du}{d\theta},</math>

: <math>\ddot r = -\ell\frac{d}{dt}\frac{du}{d\theta} =-\ell\frac{d^2u}{dt\,d\theta}\cdot\frac{d\theta}{d\theta} =-\ell\dot\theta\frac{d^2u}{d\theta^2}= -\ell^2u^2\frac{d^2u}{d\theta^2}.</math>

Уравнение движения в направлении <math>\hat{\mathbf{r}}</math> тогда запишется:

: <math>\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = - \frac{1}{\ell^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right).</math>

Закон всемирного тяготения Ньютона связывает силу на единицу массы с расстоянием как

: <math> f \left( {1 \over u} \right) =  f(r)= - \, { GM \over r^2 } = - GM u^2 </math>

где <math>G</math> — универсальная гравитационная константа и <math>M</math> — масса звезды.

В результате:

: <math>\frac{d^2u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{\ell^2}.</math>

Это дифференциальное уравнение можно переписать в полных производных:

: <math>\frac{d}{du}\left(\frac{1}{2}\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+\frac{1}{2}u^2\right)=\frac{d}{du}\left(\frac{GM}{\ell^2}u\right)</math>

Избавляясь от которых получим:

: <math>\left(\frac{du}{d\theta}\right)^2+u^2-\frac{2GM}{\ell^2}u=C</math>

И окончательно:

: <math>\frac{du}{d\theta}=\pm\sqrt{C+\frac{2GM}{\ell^2}u-u^2}</math>

Разделив переменные и произведя элементарное интегрирование получим общее решение:

: <math>u = \frac{GM}{\ell^2}  \left[ 1 + e\cos(\theta-\theta_0) \right] .</math>

для констант интегрирования <math>e</math> и <math>\theta_0</math>, зависящих от начальных условий.

Заменяя <math>u</math> на 1/<math>r</math> и вводя <math>p=\frac{\ell^2}{GM}</math>, имеем окончательно:

: <math>p = r\,( 1+  e\cos(\theta-\theta_0)) </math>

Мы получили уравнение конического сечения с параметром <math>p</math> и [[эксцентриситет]]ом <math>e</math> и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона.

=== Вывод Второго закона Кеплера ===
По определению [[угловой момент|момент импульса]] <math>\mathbf{L}</math> точечного тела с массой <math>m</math> и скоростью <math>\mathbf{v}</math> записывается в виде:

: <math>\mathbf{L} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times  ( m \mathbf{v} )</math>.

где <math>\mathbf{r}</math> — радиус-вектор тела, а <math>\mathbf{p}  =  m \mathbf{v} </math> — его импульс. Площадь, заметаемая радиус-вектором <math>\mathbf{r}</math> за время <math>dt</math> из геометрических соображений равна
: <math>dS=\frac{1}{2}r\sin\phi v dt=\frac{1}{2}|\mathbf{r}\times\mathbf{v}| dt=\frac{\mathbf{|L|}}{2m}dt = \frac{\ell}{2}dt</math>,
где <math>\phi</math> представляет собой угол между векторами <math>\mathbf{r}</math> и <math>\mathbf{v}</math>.

При выводе первого закона было показано, что <math>\ell = const</math>. То же самое можно получить простым дифференцированием углового момента:
: <math>\frac{d\mathbf{L}}{dt} =  (\mathbf{r} \times \mathbf{F})  + \left( \frac{d\mathbf{r}}{dt}  \times  m\frac{d\mathbf{r}}{dt} \right)
=  ( \mathbf{r} \times \mathbf{F} )  +  ( \mathbf{v} \times \mathbf{p} ) = 0 </math>

Последний переход объясняется равенством нулю векторного произведения колинеарных векторов. Действительно, сила здесь всегда направлена по радиус-вектору, тогда как импульс направлен вдоль скорости по определению.

Получили, что <math>\mathbf L</math> не зависит от времени. Значит <math>|\mathbf{L}|</math> постоянен, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади <math>\frac{dS}{dt}</math> — константа.

=== Вывод Третьего закона Кеплера ===
[[Файл:Третий закон Кеплера.jpg|thumb|270px|Третий закон Кеплера]]
Второй закон Кеплера утверждает, что радиус-вектор обращающегося тела заметает равные площади за равные промежутки времени. Если теперь мы возьмём очень малые промежутки времени в момент, когда планета находится в точках <math>P</math> ([[перигелий]]) и <math>A</math> ([[афелий]]), то мы сможем аппроксимировать площадь треугольниками с высотами, равными расстоянию от планеты до Солнца, и основанием, равным произведению скорости планеты на время.

: <math>\begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1-\varepsilon)a\cdot V_A\,dt= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\varepsilon)a\cdot V_B\,dt</math>

: <math>(1-\varepsilon)\cdot V_A=(1+\varepsilon)\cdot V_B</math>

: <math>V_A=V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}</math>

Используя закон сохранения энергии для полной энергии планеты в точках <math>A</math> и <math>B</math>, запишем

: <math>\frac{mV_A^2}{2}-\frac{GmM}{(1-\varepsilon)a} =\frac{mV_B^2}{2}-\frac{GmM}{(1+\varepsilon)a}</math>

: <math>\frac{V_A^2}{2}-\frac{V_B^2}{2} =\frac{GM}{(1-\varepsilon)a}-\frac{GM}{(1+\varepsilon)a}</math>

: <math>\frac{V_A^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1}{(1-\varepsilon)}-\frac{1}{(1+\varepsilon)} \right ) </math>

: <math>\frac{\left ( V_B\cdot\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2}{2}=\frac{GM}{a}\cdot \left ( \frac{1+\varepsilon-1+\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right ) </math>

: <math>V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}\right ) ^2-V_B^2=\frac{2GM}{a}\cdot \left ( \frac{2\varepsilon}{(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} \right ) </math>

: <math>V_B^2 \cdot \left ( \frac{(1+\varepsilon)^2-(1-\varepsilon)^2}{(1-\varepsilon)^2}\right )=\frac{4GM\varepsilon}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} </math>

: <math>V_B^2 \cdot \left ( \frac{1+2\varepsilon+\varepsilon^2-1+2\varepsilon-\varepsilon^2}{(1-\varepsilon)^2} \right) =\frac{4GM\varepsilon}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} </math>

: <math>V_B^2 \cdot 4\varepsilon =\frac{4GM\varepsilon\cdot (1-\varepsilon)^2}{a\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)} </math>

: <math>V_B =\sqrt{\frac{GM\cdot(1-\varepsilon)}{a\cdot(1+\varepsilon)}}.</math>

Теперь, когда нашли <math>V_B</math>, мы можем найти секторную скорость. Так как она постоянна, то можем выбрать любую точку эллипса: например, для точки ''B'' получим

: <math>\frac{dA}{dt}=\frac{\frac{1}{2}\cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B \,dt}{dt}= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\epsilon)a\cdot V_B </math>
:: <math>= \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot(1+\varepsilon)a\cdot \sqrt{\frac{GM\cdot(1-\varepsilon)}{a\cdot(1+\varepsilon)}} =
 \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}</math>

Однако полная площадь эллипса равна <math>\pi a \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a</math> (что равно <math>\pi a b</math>, поскольку <math>b=\sqrt{(1-\varepsilon^2)}a</math>). Время полного оборота, таким образом, равно

: <math>T\cdot \frac{dA}{dt}=\pi a \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a</math>

: <math>T\cdot \begin{matrix}\frac{1}{2}\end{matrix} \cdot\sqrt{GMa\cdot(1-\varepsilon)(1+\varepsilon)}=\pi \sqrt{(1-\varepsilon^2)}a^2</math>

: <math>T=\frac{2\pi \sqrt{(1-\epsilon^2)}a^2}{\sqrt{GMa\cdot(1-\epsilon)(1+\epsilon)}} =\frac{2\pi a^2}{\sqrt{GMa}}=
\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\sqrt{a^3}</math>

: <math>T^2=\frac{4\pi^2}{GM}a^3.</math>

Заметим, что если масса <math>m</math> не пренебрежимо мала по сравнению с <math>M</math>, то планета будет обращаться вокруг Солнца с той же скоростью и по той же орбите, что и материальная точка, обращающаяся вокруг массы <math>M+m</math> (см. [[приведённая масса]]). При этом массу <math>M</math> в последней формуле нужно заменить на <math>M+m</math>:

: <math>T^2=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3.</math>

==== Альтернативный расчёт ====
Рассмотрим планету как точку массой <math>m</math>, вращающейся по эллиптической орбите, в двух положениях:<OL>
<li>перигелий с радиус-вектором <math>r_1=a-c</math>, скоростью <math>V_1</math>;
<li>афелий с радиус-вектором <math>r_2=c+a</math>, скоростью <math>V_2</math>.
</OL>

Запишем закон сохранения момента импульса
: <math>mV_1r_1=mV_2r_2</math>
: и закон сохранения энергии
: <math>\frac{mV_1^2}{2}-\frac{GmM}{r_1} =\frac{mV_2^2}{2}-\frac{GmM}{r_2}</math> ,
где '''''M''''' — масса Солнца.

Решая систему, нетрудно получить соотношение на скорость планеты в точке «перигелий»:
: <math>V_1=\sqrt{2GM\frac{r_2/r_1}{r_1+r_2}}</math> .

Выразим секторную скорость (которая по второму закону Кеплера является постоянной величиной):
: <math>V_s=1/2\cdot V_1r_1=\sqrt{GM\frac{r_2r_1}{2(r_1+r_2)}}</math> .
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. С одной стороны:
: <math>S_{ellipse}=\pi ab</math>
где <math>a</math> — длина большой полуоси, <math>b</math> — длина малой полуоси орбиты.

С другой стороны, воспользовавшись тем, что для вычисления площади сектора можно перемножить секторную скорость на период оборота:
: <math>S_{ellipse}=V_s\cdot T=T\cdot\sqrt{\frac{GMr_2r_1}{2(r_1+r_2)}}</math> .

Следовательно,
: <math>T\cdot\sqrt{\frac{GMr_2r_1}{2(r_1+r_2)}}=\pi a b</math> .

Для дальнейших преобразований воспользуемся геометрическими свойствами эллипса. Имеем соотношения
: <math>c^2=a^2-b^2</math>
: <math>r_1+r_2=2a</math>
: <math>r_1\cdot r_2=a^2-c^2=b^2</math>
Подставим в формулу площади эллипса:
: <math>T\cdot\sqrt{GM\frac{b^2}{4a}}=\pi ab</math>

Откуда окончательно получим:
: <math>\frac{T}{a^{3/2}}=const</math>
или в традиционном виде
: <math>\frac{T^2}{a^3}=const .</math>

== См. также ==
* [[Классическая теория тяготения Ньютона|Закон всемирного тяготения]]
* [[Задача Бертрана]]
* [[Задача двух тел]]
* [[Задача трёх тел]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор         =
 | часть         = Кеплера законы
 | ссылка часть  = http://padaread.com/?book=22395&pg=124
 | заглавие      = [[Энциклопедический словарь (Педагогика)|Энциклопедический словарь]] юного астронома
 | оригинал      =
 | ссылка        =
 | издание       = 2-е изд
 | ответственный = сост. {{nobr|Н. П. Ерпылев}}
 | место         = М.
 | издательство  = Педагогика
 | год           = 1986
 | том           =
 | страницы      = [https://archive.org/details/libgen_00215512/page/n122 121]—122
 | страниц       = 336
 | isbn          =
}}
* {{статья |автор=[[Смородинский, Яков Абрамович|Смородинский Я. A.]]
 |заглавие= Планеты движутся по эллипсам
 |издание=[[Квант (журнал)|Квант]]
 |ссылка= http://kvant.mccme.ru/1979/12/planety_dvizhutsya_po_ellipsam.htm
 |год= 1979
 |номер = 12
 |ref=Смородинский
 |страницы=13—19
}}
* {{публикация|статья
|автор линк=:en:James Trefil
|автор=Трефил
|автор имя=Дж.
|заглавие=Законы Кеплера
|издание=Элементы
|примечание=Из кн. ''Трефил Дж.'' Природа науки. 200 законов мироздания. (Geleos, 2007.) = The Nature of Science. (2003) = James Trefil. Cassel's Laws of Nature: An A–Z of Laws and Principles Governing the Workings of Our Universe. (2002)
|ссылка=https://elementy.ru/trefil/21152/Zakony_Keplera
|архив дата=2016-03-28
|архив=https://web.archive.org/web/20160328134103/http://elementy.ru/trefil/21152/Zakony_Keplera
|ref=Трефил
}}

{{Внешние ссылки}}
{{Небесная механика}}
{{История астрономии}}
{{Иоганн Кеплер}}

[[Категория:Иоганн Кеплер]]
[[Категория:Небесная механика]]
[[Категория:Законы классической механики]]
[[Категория:Астрономические законы и уравнения]]
[[Категория:Именные законы и правила|Кеплера]]