Просмотр кода страницы Вложение

== Геометрия и топология ==

=== Общая топология ===
Отображение [[топологическое пространство|топологических пространств]] <math>f: X\to Y</math> называется '''вложением''' <math>X</math> в <math>Y</math>, если <math>f: X\to f(X)\subset Y</math> — [[гомеоморфизм]]<ref>{{citation| first = R.W. | last = Sharpe | title = Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1997| isbn = 0-387-94732-9}}, page 16.
</ref> (на <math>f(X)</math> рассматривается топология, индуцированная с <math>Y</math>). Каждое вложение [[Непрерывное отображение#Непрерывное отображение топологических пространств|непрерывно]] и [[инъекция (математика)|инъективно]].

Для пространства <math>X</math> существование вложения <math>X\to Y</math> — [[топологический инвариант]]. Мы можем различить два пространства, если одно из них можно вложить в <math>Y</math>, а другое нельзя.

=== Дифференциальная топология ===
Пусть <math>M, N</math> — [[гладкое многообразие|гладкие многообразия]] и <math>f: M\to N</math> — [[Гладкая функция|гладкое отображение]]. Оно называется '''погружением''', если [[Дифференциал (математика)#Для отображений|дифференциал <math>df</math> отображения]] <math>f</math> всюду [[инъекция (математика)|инъективен]]. '''Гладкое вложение''' — это инъективное погружение, являющееся также вложением в вышеприведённом смысле (то есть гомеоморфизмом на свой [[Функция (математика)#Связанные определения|образ]]).<ref>{{citation| first = F.W. | last = Warner | title = Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups | publisher = Springer-Verlag, New York | year = 1983| isbn = 0-387-90894-3}}, page 22.</ref>

Другими словами, прообраз вложения [[диффеоморфизм|диффеоморфен]] своему образу, и, в частности, образ вложения должен быть [[подмногообразие]]м. Погружение в свою очередь является локальным вложением (то есть для каждой точки <math>x\in M</math> существует [[окрестность]] <math>U\subset M, x\in U</math>, такая что <math>f: U\to N</math> — вложение).

Важный частный случай — когда ''N''='''R'''<sup>n</sup>. Интерес здесь представляет вопрос, насколько малым может быть ''n''. [[Теорема Уитни о вложении]]<ref>Whitney H., ''Differentiable manifolds,'' Ann. of Math. (2), '''37''' (1936), 645—680.</ref> утверждает, что достаточно ''n=2m'', где ''m'' — размерность многообразия.