Просмотр кода страницы Трёхмерная топология

{{Проводится_экспертиза_РАН}}
[[Файл:H3 635-1111.png|right|thumb|400px|Изображение изнутри трёхмерного некомпактного [[Гиперболическое многообразие|гиперболического многообразия]] с каспами в модельном многограннике. Поскольку свет движется по замкнутым контурам, создаётся оптическая иллюзия того, что копии многогранника замощяют трёхмерное [[пространство Лобачевского|гиперболическое пространство]].]]

'''Трёхмерная топология''' — раздел [[топология|топологии]], посвященный изучению [[Трёхмерное многообразие|трёхмерных многообразий]]. Относится к [[Маломерная топология|маломерной топологии]].

== Введение ==
Многие математические явления в размерности три могут разительно отличаться от явлений в других размерностях. По этой причине в трёхмерной топологии преобладают довольно специализированные методы. Эта особенность привела к открытию тесных связей с множеством других областей, таких как [[теория узлов]], [[геометрическая теория групп]], [[гиперболическая геометрия]], [[теория чисел]], [[Пространство Тейхмюллера|теория Тейхмюллера]], [[Топологическая квантовая теория поля|топологическая квантовая теория поля]], [[Калибровочная теория (математика)|калибровочная теория]], [[Гомологии Флоера|гомологии Флоера]] и [[дифференциальное уравнение в частных производных|дифференциальные уравнения в частных производных]].

Ключевой идеей трёхмерной топологии является рассмотрение поверхностей, вложенных в трехмерные многообразия. Такие поверхности можно привести в специальные положения, что порождает идею [[Несжимаемая поверхность|несжимаемости]] и теорию [[Многообразие Хакена|многообразий Хакена]]. Кроме того, их дополнение можно выбрать как можно более красивым, что приводит, например, к [[Разбиение Хегора|разбиению Хегора]], которое является полезным инструментом для описания многообразия. Также плодотворной идеей является рассмотрение вложенных в трехмерные многообразия двумерных полиэдров, которое приводит к [[Спайн трёхмерного многообразия|теории спайнов]].

[[Фундаментальная группа|Фундаментальные группы]] трехмерных многообразий отражают многие их геометрические и топологические свойства. Таким образом, наблюдается взаимодействие между [[теория групп|теорией групп]] и топологическими методами.

В целом, вместе с фундаментальной группой стандартные топологические инварианты, такие как [[гомологии|группы гомологий и когомологий]], дают много информации о структуре трёхмерных многообразий. Кроме того, в трёхмерной топологии полезными оказываются и характеристики иной природы, например [[Квантовый инвариант|квантовые инварианты]], такие как [[Инвариант Тураева — Виро|инварианты Тураева — Виро]].

Во многих случаях на трёхмерных многообразиях можно ввести дополнительную структуру в виде одной из [[Теорема геометризации|восьми модельных геометрий]]. Наиболее распространенной геометрией является [[Гиперболическая геометрия|гиперболическая]]. Часто оказывается плодотворным использование геометрии вместе с другими методами, таким как метод несжимаемых поверхностей.

Согласно теореме Мойза{{переход|теорема Мойза}}, в размерности три [[Гладкое многообразие|гладкие]], [[Топологическое многообразие|топологические]] и [[Кусочно-линейное многообразие|кусочно-линейные]] категории эквивалентны, поэтому обычно не заостряют внимание на разнице между топологическими, гладкими и кусочно-линейными трехмерными многообразиями, а также соответствующими типами отображений.

== Основные результаты теории ==
=== Теорема Мойза ===
Теорема Мойза гласит, что в размерности три [[Гладкое многообразие|гладкие]], [[Топологическое многообразие|топологические]] и [[Кусочно-линейное многообразие|кусочно-линейные]] категории эквивалентны{{sfn|Савельев|2004|p=10}}. Доказана [[Эдвин Мойз|Эдвином Мойзом]].

Из теоремы следует, что любое топологическое трёхмерное многообразие обладает единственными кусочно-линейной и гладкой структурами. В связи с этим в трёхмерной топологии обычно не заостряют внимание на разнице между топологическими, гладкими и кусочно-линейными многообразиями, а также соответствующими типами отображений.

Одним из следствий теоремы Мойза является возможность [[триангуляция (геометрия)|триангулировать]] произвольное трёхмерное многообразие. Наличие триангуляции, в свою очередь, гарантирует наличие [[разбиение Хегора|разбиения Хегора]] у произвольного [[компактное пространство|компактного]] трёхмерного многообразия.

=== Теорема о примарном разложении ===
Многообразие называется '''''простым''''' или '''''примарным''''', если в любом его разложении в виде [[связная сумма|связной суммы]] двух многообразий одно из них является им самим, а второе — сферой той же самой размерности.

Теорема о примарном разложении для трёхмерных многообразий гласит, что любое компактное ориентируемое трёхмерное многообразие может быть единственным образом представлено в виде связной суммы простых. Доказана [[Хельмут Кнезер|Хельмутом Кнезером]] и [[Милнор, Джон Уиллард|Джоном Милнором]].

=== Принцип конечности Кнезера — Хакена ===
Принцип конечности гласит, что для любого компактного трёхмерного многообразия существует такая константа, что любой набор из замкнутых, существенных, двусторонних поверхностей в нём, число которых превосходит эту константу, содержит параллельные элементы. Кроме того, если многообразие замкнуто, в качестве такой константы подойдёт удвоенное число тетраэдров в любой триангуляции многообразия.

Из данного принципа, в частности, следует существование примарного разложения для компактных трёхмерных многообразий.

Теорема доказана [[Хельмут Кнезер|Хельмутом Кнезером]] и [[Хакен, Вольфганг|Вольфгангом Хакеном]].

=== Теоремы о петле и о сфере ===
{{main|Теорема о петле|Теорема о сфере (трёхмерная топология)}}
Теоремой о петле называется утверждение об отображениях дисков в трёхмерные многообразия.

Первая её часть гласит, что если простая замкнутая кривая в крае трёхмерного многообразия ограничивает в этом многообразии диск с особенностями, то она ограничивает и вложенный, несингулярный диск{{sfn|Матвеев и Фоменко|1998|с=64}}. Данное утверждение называется [[Лемма Дена|леммой Дена]] в честь предложившего его доказательство [[Макс Ден|Макса Дена]].

Вторая часть теоремы о петле, тесно связанная с первой, гласит, что если к краю ориентируемого многообразия можно прикоснуться диском с особенностями вдоль нестягиваемой по краю петли, то можно прикоснуться и вложенным диском с тем же свойством.

Данная теорема является полезным техническим инструментом в трёхмерной топологии. Например, из неё следует, что отличная от сферы и диска собственная ориентируемая поверхность в ориентируемом трёхмерном многообразии является несжимаемой тогда и только тогда, когда индуцированный вложением этой поверхности в многообразие гомоморфизм фундаментальных групп инъективен. Кроме того, из её первой части, то есть леммы Дена, следует, что если [[группа узла]] является бесконечной циклической, то такой [[узел (математика)|узел]] тривиален.

Теорема о сфере предоставляет условия, при которых элемент второй [[гомотопические группы|гомотопической группы]] трёхмерного многообразия может быть представлен вложенной сферой.

Теоремы о петле и о сфере были доказаны [[Папакирьякопулос, Христос|Христосом Папакирьякопулосом]] в 1956 году.

=== Теоремы о кольце и о торе ===
Теорема о кольце гласит, что если две непересекающиеся простые замкнутые кривые на границе трёхмерного многообразия [[гомотопия|гомотопны]], то они ограничивают собственно вложенное кольцо.

Многообразие называется '''''неприводимым''''', если любая двумерная сфера в нём ограничивает шар по одну из сторон.

Теорема о торе гласит, что если компактное неприводимое трехмерное многообразие с непустым краем допускает негомотопное нулю отображение тора, то оно допускает существенное вложение либо тора, либо кольца<ref>{{Cite journal |last=Feustel |first=Charles D |year=1976 |title=On the torus theorem and its applications |journal=Transactions of the American Mathematical Society |volume=217 |pages=1–43 |doi=10.1090/s0002-9947-1976-0394666-3 |doi-access=free}}</ref>.

== Некоторые классы трёхмерных многообразий ==
* [[Граф многообразие|Граф многообразия]]
* [[Многообразие Хакена|Многообразия Хакена]]
* [[Гомологическая сфера|Гомологические сферы]]
* [[Гиперболическое многообразие|Гиперболические многообразия]]
* [[Расслоение на отрезки|Расслоения на отрезки]]
* [[Дополнение узла|Дополнения узлов и зацеплений]]
* [[Линзовое пространство]]
* [[Расслоение Зейферта|Расслоения Зейферта]], [[Расслоение на окружности|расслоения на окружности]]
* [[Сферическое многообразие|Сферические многообразия]]
* [[Расслоение над окружностью|Расслоения над окружностью]] и [[Торическое расслоение|торические расслоения]]

== См. также ==
* [[Трёхмерное многообразие]]

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор = {{автор|Прасолов, Виктор Васильевич|Прасолов В. В.}}, {{автор|Сосинский, Алексей Брониславович|Сосинский А. Б.}}
 | заглавие = Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия
 | издательство = МЦНМО
 | год = 1997
 | место = М.
 | ISBN = 5-900916-10-3
}}
* {{книга
 | автор = {{автор|Матвеев, Сергей Владимирович|Матвеев С. В.}}, {{автор|Фоменко, Анатолий Тимофеевич|Фоменко А. Т.}}
 | заглавие = Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии
 | издательство = Наука
 | год = 1998
 | место = М.
 | ISBN = 5-211-01743-9
 | ref = Матвеев и Фоменко
}}
* {{книга
 |автор         = {{автор|Савельев, Николай Николаевич (математик)|Савельев Н. Н.}}
 |часть         = 
 |ссылка часть  = 
 |заглавие      = Лекции по топологии трехмерных многообразий
 |nodot         = 
 |оригинал      = 
 |язык          = ru
 |ссылка        = 
 |викитека      = 
 |ответственный = 
 |издание       = 
 |место         = 
 |издательство  = [[Издательство МЦНМО|МЦНМО]]
 |год           = 2004
 |том           = 
 |страницы      = 
 |столбцы       = 
 |страниц       = 216
 |серия         = 
 |isbn          = 5-94057-118-2
 |doi           = 
 |тираж         = 
 |ref           = Савельев
 |archiveurl    = 
 |archivedate   = 
}}
* {{citation |last=Hempel |first=John |title=3-manifolds |year=2004 |publisher=[[American Mathematical Society]] |location=Providence, RI |isbn=0-8218-3695-1|mr=2098385 |doi=10.1090/chel/349}}
* {{citation |last=Jaco |first=William H. |title=Lectures on three-manifold topology |year=1980 |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, RI |isbn=0-8218-1693-4|mr=0565450 }}
* {{citation |last=Rolfsen |first=Dale |title=Knots and Links |year=1976 |publisher=American Mathematical Society |location=Providence, RI |isbn=0-914098-16-0|mr=1277811 }}
* {{citation |last=Bing |first=R. H. |title=The Geometric Topology of 3-Manifolds |year=1983 |publisher=American Mathematical Society |series=Colloquium Publications |volume=40 |location=Providence, RI |isbn=0-8218-1040-5 |pages=x+238 |mr=0928227 }}

{{Топология|state=expanded}}

[[Категория:Маломерная топология]]
[[Категория:Трёхмерные многообразия]]