Редактирование: Метризуемое пространство

'''Метризуемое пространство''' — [[топологическое пространство]], [[гомеоморфизм|гомеоморфное]] некоторому [[метрическое пространство|метрическому пространству]]. Иначе говоря, пространство, [[топология]] которого порождается некоторой [[Метрическое пространство|метрикой]].

Если такая метрика существует, то она не единственна — за исключением тривиальных случаев: когда пространство пусто или состоит лишь из одной точки.
Например, топология каждого метризуемого пространства порождается некоторой ограниченной метрикой.

== Необходимые условия метризуемости ==
* В метризуемом пространстве выполняются сильные [[аксиомы отделимости]]: они [[нормальное пространство|нормальны]] и даже [[нормальное пространство|коллективно нормальны]].
* Каждое метризуемое пространство [[паракомпактное пространство|паракомпактно]].
* Все метризуемые пространства удовлетворяют [[первая аксиома счётности|первой аксиоме счётности]].
* Для любого метризуемого пространства совпадают [[число Суслина]], [[число Линделёфа]], [[плотность топологического пространства|плотность]], [[Спред (математика)|спред]], [[экстент (математика)|экстент]], [[Вес топологического пространства|вес]].

== Достаточное условие метризуемости ==
Каждое [[нормальное пространство]] (и даже каждое [[регулярное пространство]]) со счётной [[База топологии|базой]] метризуемо. ([[Урысон, Павел Самуилович|П. С. Урысон]] и [[Тихонов, Андрей Николаевич|А. Н. Тихонов]])

== Эквивалентные условия метризуемости ==
Первый общий критерий метризуемости пространства был предложен в 1923 [[Александров, Павел Сергеевич|П. С. Александровым]] и [[Урысон, Павел Самуилович|П. С. Урысоном]].
На его основе были выработаны два следующих более совершенных критерия метризуемости:
* пространство метризуемо в том и только в том случае, когда оно [[коллективно нормальное пространство|коллективно нормально]] и обладает [[Счётное множество|счётным]] измельчающимся множеством открытых [[Покрытие (математика)|покрытий]];
* (критерий Стоуна — Архангельского) Пространство метризуемо, в том и только в том случае, когда оно обладает счётным фундаментальным множеством открытых покрытий и удовлетворяет <math>T_1</math>-аксиоме отделимости. При этом множество открытых покрытий пространства <math>X</math> называется фундаментальным, если для каждой точки <math>x\in X</math>, каждой её окрестности <math>U_x</math> найдутся покрытие <math>\mathcal P</math> и окрестность <math>O_x</math> точки <math>x</math> такие, что каждый элемент покрытия <math>\mathcal P</math>, пересекающийся с <math>O_x</math>, содержится в <math>U_x</math>.

На другой важной концепции — локальной конечности — основаны общие метризационные критерии.
* Критерий Нагаты — Смирнова: пространство <math>X</math> метризуемо в том и только в том случае, если оно регулярно и обладает [[База топологии|базой]], распадающейся на счетное множество [[Локально конечное семейство подмножеств|локально конечных семейств]] множеств.
Критерий Бинга аналогичен, но в нём вместо локально конечных фигурируют дискретные семейства множеств.
Удобные варианты приведенных выше основных критериев метризуемости связаны с понятиями равномерной базы и регулярной базы.
База <math>\mathcal B</math> пространства <math>X</math> называется регулярной (равномерной), если для всякой точки <math>x\in X</math> и любой её окрестности <math>O_x</math> найдется окрестность <math>U_x</math> этой точки такая, что число элементов базы <math>\mathcal B</math>, пересекающих
одновременно <math>U_x</math> и дополнение к <math>O_x</math>, конечно (соответственно, если множество элементов <math>\Omega\in \mathcal B</math> таких что <math>\Omega\ni x</math>, <math>\Omega\not\subset O_x</math> конечно).
* Пространство <math>X</math> метризуемо тогда и только тогда, когда оно коллективно нормально и обладает равномерной базой.
* Для метризуемости <math>T_1</math>-пространства необходимо и достаточно, чтобы оно обладало регулярной базой.
По теореме Ковальского, счётная [[Произведение топологических пространств|степень]] [[ёж (топология)|ежа]] колючести <math>\mathfrak{m}</math> (при <math>\mathfrak{m}\ge \aleph_0</math>) является [[универсальное пространство|универсальным пространством]] для всех метризуемых пространств веса <math>\mathfrak{m}</math>. Таким образом, пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно [[Топологическое подпространство|подпространству]] счётной степени ежа некоторой колючести <math>\mathfrak{m}</math>.<ref>{{Cite web|url = http://www.ams.org/journals/proc/1979-075-01/S0002-9939-1979-0529240-7/S0002-9939-1979-0529240-7.pdf|title = A short proof of Kowalsky's hedgehog theorem|author = Swardson, M. A.|date = 1 июня 1979|publisher = американское математическое общество|access-date = 2014-07-12|archive-date = 2014-07-14|archive-url = https://web.archive.org/web/20140714192411/http://www.ams.org/journals/proc/1979-075-01/S0002-9939-1979-0529240-7/S0002-9939-1979-0529240-7.pdf|deadlink = no}}</ref>

== Частные случаи ==
Метризационные критерии достигают простоты в ряде специальных классов пространств.
Так, для метризуемости [[Компактное пространство|компакта]] <math>X</math> любое из следующих трёх условий необходимо и достаточно:
* <math>X</math> [[Вторая аксиома счётности|обладает счётной базой]];
* <math>X</math>[[Первая аксиома счётности|обладает точечно-счётной базой]];
* в <math>X</math> есть счётная [[сеть (топология)|сеть]];

Для метризуемости пространства [[топологическая группа|топологической группы]] необходимо и достаточно, чтобы в последнем выполнялась [[первая аксиома счётности]] и аксиома отделимости <math>T_0</math>, причем тогда пространство метризуемо инвариантной метрикой (например, по отношению к умножению слева).

== О полноте ==
Не всякое метризуемое пространство метризуемо [[полное метрическое пространство|полной метрикой]]; таково, например, пространство [[рациональное число|рациональных чисел]].
Пространство метризуемо полной метрикой в том и только в том случае, если оно метризуемо и [[полное по Чеху пространство|полно по Чеху]], то есть является [[G-дельта-множество|множеством типа {{math|''G''<sub>δ</sub>}}]] в некотором содержащем его компакте.
Важным топологическим свойством пространств, метризуемых полной метрикой, является [[свойство Бэра]]: пересечение любого счетного семейства [[Всюду плотное множество|всюду плотных]] открытых множеств всюду плотно.

== Вариации и обобщения ==
К метризуемым пространствам наиболее близки по свойствам [[моровское пространство|моровские пространства]] — [[вполне регулярное пространство|вполне регулярные пространства]], обладающие счетным измельчающимся семейством открытых покрытий, и [[кружевное пространство|кружевные пространства]].

Пространство называется '''локально метризуемым''', если каждая его точка имеет метризуемую окрестность.

Широкий спектр обобщений концепции метризуемого пространства получается, если варьировать аксиомы метрики, ослабляя их в том или ином отношении и рассматривая порожденные такими «метриками» топологии.
На этом пути получаются симметризуемые пространства — путём отказа от аксиомы [[неравенство треугольника|неравенства треугольника]].
В эту схему укладываются и моровские пространства.
Другое важное обобщение концепции метризуемости связано с рассмотрением «метрик» со значениями в [[полуполе|полуполях]] и других алгебраических образованиях общей природы.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга|автор=Александров, Павел Сергеевич,  Борис Алексеевич Пасынков|заглавие=Введение в теорию размерности: введение в теорию топологических пространств и общую теорию размерности|год=1973|серия=|ссылка=|место=|издательство=Наукa, Главная редакция физико-математической литературы|тираж=|страниц=|isbn=}}

{{rq|sources|topic=math}}

[[Категория:Общая топология]]